低轨纳卫星质量矩姿态控制技术研究1)

图1质量矩卫星系统受力示意图

Fig. 1Force diagram of the satellite system

符号说明如下:

(1) $O_{I} X_{I}Y_{I}Z_{I}$为地球惯性坐标系; $O_{B} X_{B} Y_{B} Z_{B}$为建立在卫星本体(除去滑块)质心$O_{B}$的本体坐标系; $O_{S}$为卫星系统(包括滑块)质心位置矢量;

(2) ${R}$表示本体系相对惯性系位置矢量在本体下的表达; ${\rho }$表示卫星本体质点在本体系下的位置矢量; ${p}_i$表示滑块$i$在本体系下的位置矢量; ${r}_{s}$表示系统质心在本体系下的位置矢量;

(3) ${F}_{b} $表示卫星本体受到合外力; ${F}_{i}$表示滑块$i$受到合外力; ${F}$表示卫星系统受到合外力;

(4) 任一矢量${x}$对惯性系的二阶导数表示为${\hat{{\ddot{{x}}}}}$, 对本体系的一阶和二阶导数分别表示为${\dot{{x}}}$和${\ddot{{x}}}$;

(5) ${\omega }$和${\dot{{\omega}}}$分别为卫星本体系相对惯性系的角速度和角加速度在本体系下的表达;

(6) $M$为卫星本体质量; $m_i $为滑块$i$质量; ${J}_{B}$为卫星本体转动惯量;

(7) $[\cdot ]^\times $表示矢量的斜对称矩阵.

1.1 质量矩卫星系统动力学

可移动滑块尺寸相对卫星较小, 被简化为质点处理, 如图1所示, 卫星本体、滑块$i$以及卫星系统受力为

(1)${F}_{b} =\int_{M} {\left( {{\hat{{\ddot{{R}}}}}+{\hat{{\ddot{{\rho}}}}}} \right)} \text{d}m$

(2)${F}_i =m_i \left( {{\hat{{\ddot{{R}}}}}+{\hat{{\ddot{{p}}}}}_i }\right)$

(3)${F}={G}+{F}_{e} ={F}_{b} +\sum\limits_{i=1}^n {{F}_i }=\\ \int_{M} {\left( {{\hat{{\ddot{{R}}}}}+{\hat{{\ddot{{\rho }}}}}} \right)} \text{d}m+\sum\limits_{i=1}^n {m_i \left( {{\hat{{\ddot{{R}}}}}+{\hat{{\ddot{{p}}}}}_i } \right)}$

其中, ${G}$为卫星系统所受重力, ${F}_{e} $为卫星系统除重力外所受合外力.

由坐标系间的矢量微分法则可得

(4)${\hat{{\ddot{{p}}}}}_i ={\ddot{{p}}}_i +2{\omega }\times {\dot{{p}}}_i +{\dot{{\omega }}}\times {p}_i +{\omega }\times \left( {{\omega }\times {p}_i } \right)$

(5)${\hat{{\ddot{{\rho }}}}}={\dot{{\omega }}}\times {\rho }+{\omega }\times \left( {{\omega }\times {\rho }} \right)$

定义本体系原点$O_{B} $在卫星本体质心, 可知

(6)$\int_{M} {\rho } \text{d}m={\bf0}$

假定低轨纳卫星轨道近似为圆轨道, 则重力和径向加速度引起的惯性力处于平衡状态, 即

(7)${G}=\left( {M+\sum\limits_{i=1}^n {m_i } } \right){\hat{{\ddot{{R}}}}}$

其中, ${\hat{{\ddot{{R}}}}}$表示卫星所在位置的重力加速度. 将式(5)~式(7)代入式(3),

得到

(8)${F}_{e} =\left( {M+\sum\limits_{i=1}^n {m_i } } \right)\delta {\hat{{\ddot{{R}}}}}+\sum\limits_{i=1}^n {m_i {\hat{{\ddot{{p}}}}}_i }$

(9)$\delta {\hat{{\ddot{{R}}}}}=\frac{{F}_{e} -\sum\limits_{i=1}^n {m_i{\hat{{\ddot{{p}}}}}_i } }{M+\sum\limits_{i=1}^n {m_i } }$

式中$\delta {\hat{{\ddot{{R}}}}}={\hat{{\ddot{{R}}}}}-{\hat{{\ddot{{R}}}}}$, 表示卫星系统质心除去重力影响的惯性加速度在本体系下的表达. 滑块$i$受到重力和卫星本体的作用力, 来自卫星本体的作用力可表示为

(10)${f}_i =m_i \left( {\delta {\hat{{\ddot{{R}}}}}+{\hat{{\ddot{{p}}}}}_i } \right)$

因此, 滑块对本体作用力相对本体质心的矩${T}_{m} $可计算得到

(11)${T}_{m} =-\sum\limits_{i=1}^n {{p}_i \times {f}_i }$

卫星本体受到磁控力矩${T}_{B} $、环境力相对本体质心的矩${T}_{e} $以及滑块对本体作用力相对本体质心的矩${T}_{m} $, 代入标准卫星动力学方程

(12)${J}_{B} {\dot{{\omega }}}+{\omega }\times {J}_{B} {\omega }={T}_{B} +{T}_{e} +{T}_{m}$

其中, ${T}_{B} ={m}_{mag} \times {B}$, ${m}_{mag}$表示磁力矩器产生的磁矩控制量, ${B}$是卫星所在位置本体系下地磁矢量.

将式(9)和式(10)代入式(11), 得到

(13)${T}_{m} =-{r}_{s} \times {F}_{e} +\left[ {{r}_{s} \times \sum\limits_{i=1}^n {m_i {\hat{{\ddot{{p}}}}}_i } -\sum\limits_{i=1}^n {\left( {m_i {p}_i \times {\hat{{\ddot{{p}}}}}_i } \right)} } \right]$

(14)${r}_{s} =\frac{\sum\limits_{i=1}^n {m_i {p}_i }}{M+\sum\limits_{i=1}^n {m_i } }$

式中, ${r}_{s} $为在本体系下系统质心位置; 等号右边第一项是气动控制力矩, 通过调整滑块位置矢量${p}_i $,可改变系统质心位置${r}_{s} $, 从而输出理想气动控制力矩; 等号右边第二项是由滑块位置变化引起的系统转动惯量变化以及由滑块运动引起的附加力矩.

将式(4)代入式(13)右边第二项, 得到

(15)${r}_{s} \times \sum\limits_{i=1}^n {m_i {\hat{{\ddot{{p}}}}}_i } -\sum\limits_{i=1}^n {\left( {m_i {p}_i \times {\hat{{\ddot{{p}}}}}_i } \right)} ={M}_{xt} -{J}_{M} {\dot{{\omega}}}$

式中

(16)$\left. \begin{array}{l} {{J}_{M} =\left[ {{r}_{s} } \right]^\times \left[ {\sum\limits_{i=1}^n {m_i {p}_i } } \right]^\times -\sum\limits_{i=1}^n {m_i \left[ {{ p}_i } \right]^\times \left[ {{p}_i } \right]^\times } } \\ {{M}_{xt} ={M}_{a} +{M}_{c} +{M}_{g} } \\ {{M}_{a} ={r}_{s} \times \sum\limits_{i=1}^n {m_i {\ddot{{p}}}_i } -\sum\limits_{i=1}^n {m_i {p}_i \times {\ddot{{p}}}_i } } \\ {M}_{c} ={r}_{s} \times \left( {2{\omega }\times \sum\limits_{i=1}^n {m_i {\dot{{p}}}_i } } \right)-\\ \sum\limits_{i=1}^n {2m_i {p}_i \times \left( {{\omega }\times {\dot{{p}}}_i } \right)} \\ {M}_{g} ={r}_{s} \times \left[ {{\omega }\times \left( {{\omega }\times \sum\limits_{i=1}^n {m_i {p}_i } } \right)} \right] -\\ \sum\limits_{i=1}^n {m_i {p}_i \times \left[ {{\omega }\times \left( {{\omega }\times {p}_i } \right)} \right]} \end{array}\right\}$

式中, ${J}_{M} $是与滑块位置有关的附加转动惯量, ${M}_{xt} $是由滑块运动引起的附加力矩, 包括与加速度${\ddot{{p}}}_i $有关的附加惯性力矩${M}_{a} $、与速度${\dot{{p}}}_i$有关的附加哥式力矩${M}_{c} $、与位置${p}_i $有关的附加陀螺力矩${M}_{g} $.

将式(13)和式(15)代入式(12), 得到质量矩系统完整动力学方程为

(17)$\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\dot{{\omega }}}+{\omega }\times {J}_{B} {\omega }=\\ {T}_{e} +{T}_{B} -{r}_{s} \times {F}_{e} +{M}_{xt}$

其中, 由于低轨卫星气动阻力远大于其他环境力, 同时, 真实大气环境存在不确定性, 难以建模, 故将环境力${F}_{e}$简化为大小和方向上存在误差的理想大气阻力${F}_{aero}^{b} $. 参考文献^[23],理想气动力模型为${F}_{aero}^{b} =0.5\rho \left\| {{v}_{a}^{b} }\right\|^2C_{D} A_{p} \cdot {\hat{{v}}}_{a}^{b} $, $\rho $为大气平均密度, $C_{D}$为阻力系数, ${v}_{a}^{b} $为大气来流速度矢量, $A_{p} $为卫星在矢量${v}_{a}^{b} $方向上的投影面积, ${\hat{{v}}}_{a}^{b} $为本体系下来流速度单位矢量.

1.2 相对轨道系的运动学和动力学方程

定义角速度${\omega }_{bo}$为卫星本体系相对于轨道系的姿态角速度在本体系下的表达, 可表示为

(18)${\omega }_{bo} ={\omega }-{A}_{bo} {\omega }_{oi}$

其中, ${\omega }_{oi} $是轨道角速度, ${A}_{bo}$是轨道系到本体系的姿态转换矩阵, 可展开为

(19)${A}_{bo} ={I}_{3\times 3} -\frac{4\left( {1-{\sigma }_{bo} ^{T}{\sigma }_{bo}} \right)}{\left( {1+{\sigma }_{bo} ^{T}{\sigma }_{bo} } \right)^2}\left[ {{\sigma } } \right]^\times+\\ \frac{8}{\left( {1+{\sigma }_{bo} ^{T}{\sigma }_{bo} } \right)^2}\left[ {{\sigma }_{bo} } \right]^{\times2}$

利用修正罗德里格参数${\sigma }_{bo} $描述卫星本体系相对于轨道系$O_O X_OY_O Z_O $的姿态, 则相对轨道系的姿态运动学方程为

(20)${\dot{{\sigma }}}_{bo} ={G}\left( {{\sigma }_{bo} } \right){\omega }_{bo}$

其中

(21)${G}\left( {{\sigma }_{bo} } \right)=\frac{1}{2}\Bigg( { I}_{3\times 3} +\left[ {{\sigma }_{bo} } \right]^\times +{\sigma }_{bo} {\sigma }_{bo} ^{T}- \frac{1+{\sigma }_{bo} ^{T}{\sigma }_{bo} }{2}{I}_{3\times 3} \Bigg)$

对式(18)求导得

(22)${\dot{{\omega }}}_{bo} ={\dot{{\omega }}}+{\omega }_{bo} \times {A}_{bo} {\omega }_{oi}$

将式(22)代入式(17)得到相对轨道系的姿态动力学方程为

(23)$\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\dot{{\omega }}}_{bo} =-{ \omega }\times {J}_{B} {\omega }+\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)\cdot \\ \left( {{\omega }_{bo} \times {A}_{bo} {\omega }_{oi} } \right)+{ T}_{e} +{T}_{B} -\\ {r}_{s} \times {F}_{aero} +{M}_{xt}$

2 滑模控制律设计

本文采用质量矩与磁力矩相结合的姿态控制方法, 将单使用质量矩或者单使用磁力矩的欠驱动控制方式转化为三轴全驱动控制方式.参考文献^[28,29], 针对三轴理想合力矩设计了基于干扰观测器的滑模控制律. 理想控制合力矩${u}_{t} $为

(24)${u}_{t} ={m}_{mag} \times {B}-{r}_{s} \times {F}_{aero}$

对于卫星系统模型, 考虑如下干扰来源:

(1)卫星本体质心位置偏差${r}_{s} $;

(2)环境力相对本体质心的矩${T}_{e} $;

(3)滑块运动引起的附加力矩${M}_{xt} $;

(4)由理想气动模型误差引起的气动控制力误差${F}_{aero} $;

(5)卫星系统剩磁矩${m}_{rsd} $;

(6)未知环境干扰力矩${d}_{s} $.

注意到附加干扰力矩${M}_{xt} $与滑块的速度与加速度有关, 属于快时变干扰, 作用在卫星系统上使得卫星姿态出现抖动. 其余干扰力矩属于慢时变干扰, 可通过干扰观测器有效跟踪并补偿.

将式(24)及上述干扰项代入系统动力学方程式(23), 得到

(25)$\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\dot{{\omega }}}_{bo} =-{ \omega }\times {J}_{B} {\omega }+\\ \left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)\left( {{\omega }_{bo} \times {A}_{bo} {\omega }_{oi} } \right)+{u}_{t} +{d}$

式中${d}$为系统干扰项之和, 展开为

(26)${d}={m}_{rsd} \times {B}+\left[ {-{r}_{s} \times {F}_{aero} -{r}_{s} \times ({F}_{aero}+{F}_{aero} )} \right]+\\ {d}_{s} +{M}_{xt}$

式中等号右边第一项是剩磁干扰力矩,第二项是气动控制力误差与卫星本体质心偏差共同作用的气动力矩误差.

2.1 指数收敛干扰观测器设计

取${\dot{{\hat{{d}}}}}=K\left( {{d}-{\hat{{d}}}} \right)$, 其中$K>0$与观测器收敛速率有关. 定义辅助参数向量

(27)${z}={\hat{{d}}}-K\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\omega }_{bo}$

对上式求导得到

(28)${\dot{{z}}}={\dot{{\hat{{d}}}}}-K\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\dot{{\omega }}}_{bo}$

由于

(29)${\dot{{\hat{{d}}}}}=K\left( {{d}-{\hat{{d}}}} \right)=K\left[ {\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\dot{{\omega }}}_{bo} +{\omega }\times {J}_{B} {\omega }-{u}_{t} } \right]-\\ K\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)\left( {{\omega }_{bo} \times {A}_{bo} {\omega }_{oi} } \right)-K{\hat{{d}}}$

则干扰观测器设计为

(30)$\left.\begin{array}{l} {\dot{{z}}}=K\left[ {\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\dot{{\omega }}}_{bo} +{\omega }\times {J}_{B} {\omega }-} \right]-\\ K\left[ {\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)\left( {{\omega }_{bo} \times {A}_{bo} {\omega }_{oi} } \right)+{u}_{t} } \right]-\\ K{\hat{{d}}}-K\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\dot{{\omega }}}_{bo}=\\ K\left[ {{\omega }\times {J}_{B} {\omega }-\left( {{ J}_{B} +{J}_{M} } \right)\left( {{\omega }_{bo} \times {A}_{bo} { \omega }_{oi} } \right)} \right]-\\ K{u}_{t} -K{\hat{{d}}}\\ {{\hat{{d}}}={z}+K\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right){\omega }_{bo} } \end{array}\right\}$

由于质量矩系统干扰变化远慢于观测器的更新动态, 故可视为慢时变干扰, 即${\dot{{d}}}={\bf 0}$. 令观测误差为${\tilde{{d}}}={d}-{\hat{{d}}}$, 因而得到观测器误差方程为

(31)${\dot{{\tilde{{d}}}}}+K{\tilde{{d}}}={\bf0}$

于是得到观测器误差的解析解为

(32)${\tilde{{d}}}\left( t \right)={\tilde{{d}}}\left( {t_0 } \right){e}^{-Kt}$

由于${\tilde{{d}}}\left( {t_0 } \right)$的值是确定的, 可见, 观测器指数收敛于干扰${d}$.

2.2 滑模控制器设计

卫星姿态机动目标为${\sigma }_{bo} \to {\sigma }_{bo}^{d} $, ${\omega }_{bo} \to {\omega }_{bo}^{d} $. 定义误差参数${e}_1 ={\sigma }_{bo} -{\sigma }_{bo}^{d} $和${e}_2 ={\omega }_{bo} -{\omega }_{bo}^{d} $, 设计滑模函数为

(33)${s}={ce}_1 +{e}_2$

其中, ${c}=\mbox{diag}(c_1\ \ c_2\ \ c_3)$且$c_1 ,c_2 ,c_3 >0$. 由文献^[30]可知,考虑卫星运动学方程(20)和动力学方程(25), 如果滑模函数${s}\left( t \right)$满足$\lim\limits_{t\to \infty } s\left( t\right)=0$, 那么可以得到$\lim\limits_{t\to \infty } {e}_1 \left( t \right)=0$和$\lim\limits_{t\to \infty } {e}_2 \left( t \right)=0$.

对式(33)求导得到

(34)$\begin{array}{l}{\dot{{s}}}={c\dot{{e}}}_1 +{\dot{{e}}}_2 ={c}\left( {{\dot{{\sigma }}}_{bo} -{\dot{{\sigma }}}_{bo}^{d} } \right)+{\dot{{\omega }}}_{bo} -{\dot{{\omega }}}_{bo}^{d}=\\ {c}\left( {{G}\left( {{\sigma }_{bo} } \right){\omega }_{bo} -{\dot{{\sigma }}}_{bo}^{d} } \right)+{\omega }_{bo} \times {A}_{bo} {\omega }_{oi}+\\ \left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)^{-1}\left( {-{\omega }\times {J}_{B} {\omega }+{u}_{t} +{d}} \right)\end{array}$

设计滑模控制律为

(35)${u}_{t} =\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)\Big[ -{c}\left( {{G}\left( {{\sigma }_{bo} } \right){\omega }_{bo} -{\dot{{\sigma }}}_{bo}^{d} } \right) -{\omega }_{bo} \times\\ {A}_{bo} {\omega }_{oi} -{ks}-{\eta }{sgn}\left( {s} \right) \Big]+{\omega }\times{J}_{B} {\omega }-{\hat{{d}}}$

其中, ${k}=\mbox{diag}(k_1\ \ k_2\ \ k_3 )$且$k_1 ,k_2 ,k_3 >0$.

取闭环系统的Lyapunov函数为

(36)$V=\frac{1}{2}{s}^{T}{s}+\frac{1}{2}{\tilde{{d}}}^{T}{\tilde{{d}}}$

结合式(31)、式(34)和式(35), 则Lyapunov函数的导数为

(37)$\begin{array}{l}\dot{{V}}={s}^{T}{\dot{{s}}}+{\tilde{{d}}}^{T}{\dot{{\tilde{{d}}}}} =\\ {s}^{T}\left[ {{c}\left( {{G}\left( {{\sigma }_{bo} } \right){\omega }_{bo} -{\dot{{\sigma }}}_{bo}^{d} } \right)+{ \omega }_{bo} \times {A}_{bo} {\omega }_{oi} } \right]+\\ {s}^{T}\left[ {\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)^{-1}\left( {-{\omega }\times {J}_{B} {\omega }+{u}_{t} +{d}} \right)} \right]+\\ {\tilde{{d}}}^{T}\left( {-K{\tilde{{d}}}} \right)={s}^{T}\Big[ -{ks}-{\eta}{sgn}\left( {s} \right)-\\ \left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)^{-1}{\tilde{{d}}} \Big]-K\left\| {{\tilde{{d}}}} \right\|^2 =-\sum\limits_{i=1}^3 {\left( {k_i s_i^2 +\eta _i \left| {s_i } \right|} \right)} -\\ {s}^{T}\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)^{-1}{\tilde{{d}}}-K\left\| {{\tilde{{d}}}} \right\|^2\leqslant 0\end{array}$

其中, 定义${D}={s}^{T}\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)^{-1}{\tilde{{d}}}=[D_1\ \ D_2\ \ D_3]^{T}$, 则取参数$\eta _i \geqslant \left| {D_i } \right|_{\max }$, $i=1,2,3$. 由于

(38)$\begin{array}{l}\dot{{V}}=-\sum\limits_{i=1}^3 {\left( {k_i s_i^2 +\eta _i \left| {s_i } \right|} \right)} -{s}^{T}\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)^{-1}{\tilde{{d}}}-K\left\| {{\tilde{{d}}}} \right\|^2\leqslant\\ -\sum\limits_{i=1}^3 {k_i s_i^2 } -K\left\| {{\tilde{{d}}}} \right\|^2\leqslant -k_1 \left( {\frac{1}{2}{s}^{T}{s}+\frac{1}{2}{\tilde{{d}}}^{T}{\tilde{{d}}}} \right)=\\ -k_{m} V\end{array}$

其中$k_{m} =2\min \left\{ {k_1 ,k_2 ,k_3 ,K} \right\}$. 根据文献^[31], 不等式$\dot{{V}}\leqslant -k_{m} V$的解析解为$V\left( t \right)\leqslant {e}^{-k_{m} \left({t-t_0 } \right)}V\left( {t_0 } \right)$, 可见, 控制系统呈指数收敛, 收敛精度取决于参数$k_{m} $的值.

为防止系统抖振, 采用双曲正切函数取代控制律(35)中符号函数, 相较于饱和函数, 双曲正切函数曲线更加平滑,避免滑块运动的突变引起过大的附加干扰力矩. 基于双曲正切函数的滑模控制律为

(39)${u}_{t} =\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)\Big[ -{c}\left( {G}\left( {{\sigma }_{bo} } \right){\omega }_{bo} -{\dot{{\sigma }}}_{bo}^{d}\right)-\\ {\omega }_{bo} \times {A}_{bo} {\omega }_{oi}\Big]-\left( {{J}_{B} +{J}_{M} } \right)\left[ {{ks}+{ \eta }\tanh \left( {\frac{{s}}{{\varepsilon }_{m} }} \right)} \right]+\\ {\omega }\times {J}_{B} {\omega }-{\hat{{d}}}$

其中, ${\varepsilon }_{m} =[\varepsilon _{m1}\ \ \varepsilon _{m2}\ \ \varepsilon_{m3}]$且$\varepsilon _{m1} ,\varepsilon _{m2} ,\varepsilon _{m3} >0$.

3 最优控制力矩分配

本文控制律针对三轴理想合力矩设计, 实际控制量是滑块位置和磁力矩器输出磁矩, 因此需要配合力矩分配策略将合力矩转为执行机构实际控制量. 理想控制力矩分配方法见图2.

图2

图2力矩分配示意图

Fig. 2Allocation of the ideal control torque

图2(a)中, 平面${\beta }_1 $垂直于地磁矢量${B}$, 平面${\beta }_2 $垂直于来流速度矢量${v}_{a}^{b}$, 平面${\beta }_4$是矢量${B}$和气动力矩矢量${u}_{M} $所在平面, 平面${\beta }_1$和平面${\beta }_2 $的交线为$\phi _l $.

将理想控制力矩${u}_{t} $在平面${\beta }_3 $上分解为平行于矢量${B}$的力矩${u}_{t\parallel B} $和垂直于矢量${B}$的力矩${u}_{t\bot B}$, 矢量${u}_{t\bot B} $在平面${\beta }_1 $上. 根据投影定理可得

(40)${u}_{t\parallel B} ={\hat{{B}}}\left[ {\left( {{\hat{{B}}}} \right)^{T}{u}_{t} } \right]$

(41)${u}_{t\bot B} ={u}_{t} -{u}_{t\parallel B}$

式中${\hat{{B}}}$为单位地磁矢量.

由于磁力矩${u}_{B} $垂直于矢量${B}$, 故${u}_{t\parallel B}$是矢量${u}_{M} $在矢量${\hat{{B}}}$方向上的投影. 根据文献^[27], 若平面${\beta }_4 $与平面${\beta }_2 $垂直, 此时气动力矩$u'_{M} $为

(42)$u'_{M} =\frac{{u}_{t} ^{T}{\hat{{B}}}}{\left( {{ Pu}_{t\parallel B} } \right)^{T}{\hat{{B}}}}\left( {{Pu}_{t\parallel B} } \right)$

式中${P}={I}_{3\times 3} -{\hat{{v}}}_{a}^{b} \left( {{\hat{{v}}}_{a}^{b} } \right)^{T}$. 然而平面${\beta }_4 $与平面${\beta }_2$并不一定垂直, 即矢量${u}_{M} $并不唯一, 如图2(b)所示, 在平面${\beta }_2 $上定义单位方向矢量${\hat{{z}}}_{M} $为

(43)${\hat{{z}}}_{M} =\frac{{v}_{a}^{b} \times {B}}{\left\| {{v}_{a}^{b} \times {B}} \right\|}$

式中单位矢量${\hat{{z}}}_{M} $垂直于矢量${v}_{a}^{b}$和矢量${B}$所在平面. 则气动力矩${u}_{M} $可表示为

(44)${u}_{M} =u'_{M} +a\cdot {\hat{{z}}}_{M}$

式中$a$是实数系数.

平面${\beta }_5 $垂直于矢量${u}_{M} $, 由式(24)可知, 若矢量${u}_{M} $与矢量${F}_{aero}^{b} $一定, 矢量${r}_{s} $在平面${\beta }_5 $上不唯一. 根据文献^[24], 在平面${\beta }_2 $上的矢量$r'_{s} $为

(45)$r'_{s} =-\frac{{F}_{aero}^{b} \times {u}_{M} }{\left\| {{ F}_{aero}^{b} } \right\|^2}$

如图2(b)所示, 定义单位方向矢量${\hat{{z}}}_{B} ={\hat{{v}}}_{a}^{b} $, 则质心位置矢量${r}_{s} $可表示为

(46)${r}_{s} =r'_{s} +b\cdot {\hat{{z}}}_{B}$

式中$b$是实数系数.

由式(44)和式(46)可知, 力矩分配策略的不唯一性主要体现在质心位置矢量${r}_{s}$表达式中系数$a$和$b$可以在一定范围内变化, 这为优化滑块位移提供了可能.

磁力矩${u}_{B} $为

(47)${u}_{B} ={u}_{t} -{u}_{M}$

结合式(24), 可计算得出实际控制量磁矩为

(48)${m}_{mag} =\frac{{B}\times {u}_{B} }{\left\| {B} \right\|^2}$

可以利用理想力矩分配方法的不唯一性优化滑块位移,通过优化系数$a$和$b$减小滑块运动附加干扰力矩.此优化属于标准的非线性优化问题,可借助传统非线性优化算法或者智能优化算法求解此问题. 同时,为减小姿态机动过程中附加力矩的影响, 还可通过减缓滑块运动实现,即减小控制律增益以减小滑块位移量, 或者拉长控制周期以增大滑块运动时间.

4 仿真分析

本文以正交三滑块和三轴磁力矩器为姿态控制执行机构. 如图3所示,正交三滑块可沿平行于卫星本体系各轴方向移动.采用德国FAULHABER公司的LM0830-040-01系列直线电机驱动滑块,加装铜制配重以达到滑块设计质量,该电机能以300Hz频率通过串口返回位置和速度信息.三轴磁力矩器由两个带铁芯的线圈和一个空心盘状线圈组成,可通过采集各线圈电流大小间接测量磁力矩器三轴输出磁矩.

图3

图3半物理仿真平台

Fig. 3Semi-physical simulation platform for two actuators

本文为验证所设计的观测器和滑模控制律的有效性,并由此说明在低轨纳卫星上主动利用气动力矩控制姿态的可行性,搭建针对双执行机构的半物理仿真平台. 由图3可见, 为避免重力影响,将三滑块水平布置,并利用采集计算机采集各滑块运动信息和磁力矩器三轴的输出磁矩.

如图4所示, 半物理仿真平台包括仿真计算机、采集计算机和双执行机构. 仿真计算机利用MATLAB软件计算控制律和动力学, 并更新姿态信息, 动力学计算周期为200 ms, 控制周期为10 s.

图4

图4半物理仿真流程图

Fig. 4The flow diagram of the semi-physical simulation process

所选用两单元立方星尺寸为110 mm $\times $ 110 mm $\times $ 230 mm,给定本体系下三滑块的位置矢量${p}_1 =[l_1 ,0.01,-0.01]^{T}$ cm, ${p}_2 =[-0.01,l_2 ,0.01]^{T}$ cm, ${p}_3 =[0.01,-0.01,l_3]^{T}$ cm, 卫星系统质心在本体系下三方向可调整范围为$\pm $1.35mm.其余系统参数及控制参数如表1所示.

表1系统参数表

Table 1 Parameters of control

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仿真中初始姿态(3-1-2转动顺序)为滚动角$\varphi =-10^{\circ}$, 俯仰角$\theta=10^{\circ}$, 偏航角$\psi =30^{\circ}$, 初始角速度${\omega }_{bo0}=[-0.003,0.005,0.006]$ rad/s. 机动目标姿态为$\varphi =10^{\circ}$,$\theta =30^{\circ}$, $\psi =-10^{\circ}$, 目标角速度为${\omega }_{bod} =[0,0,0]$ rad/s. 仿真曲线如图5~图8所示.

图5

图5姿态参数变化曲线

Fig. 5Curves of attitude parameters

图6

图6控制输入变化曲线

Fig. 6Curves of control inputs

图7

图7附加干扰力矩及力矩分配系数变化曲线

Fig. 7Curves of additional torque and coefficients $a$, $b$

图8

图8系统误差及观测值变化曲线

Fig. 8Curves of system disturbance and observed value

由图5可看出, 卫星在600 s逼近至目标姿态, 姿态角收敛精度达到$\pm $0.1$^\circ$,完成姿态机动,验证了利用质量矩执行机构主动控制气动力矩实现姿态机动方法的可行性.虽然可以通过增大控制系统的增益值来加快姿态收敛速度,但势必会造成超调增大、执行机构过载等情况出现, 故需综合考虑. 由图6可看出,理想控制力矩在300 s之前存在波动,这主要是由于滑块位置缓慢变化导致的控制输入误差引起的,最终控制力矩为抵消系统所受干扰力矩未能收敛至0. 在姿态机动过程中,仿真中将控制周期延长至10 s, 因而滑块的位移变化曲线趋于平缓,能大幅减小滑块附加干扰.

由图7和图8可看出, 由于气动力模型误差、卫星参数不确定、环境干扰等因素,低轨质量矩纳卫星姿态控制存在不可忽略的系统干扰,达到$10^{-7}~\mbox{N$\cdot$m}$的量级. 相较于此,由于延长了滑块的运动时间以及设计了最优力矩分配策略,滑块附加干扰力矩被减小至$10^{-8}~\mbox{N$\cdot$m}$的量级, 远小于系统其他干扰.本文所设计的指数收敛干扰观测器能有效跟踪系统干扰力矩, 大幅提高姿态收敛精度,减小控制输入的震荡.

5 结论

本文在低轨纳卫星大规模应用, 任务日趋多样化的背景下,探索了利用质量矩技术实现姿态机动控制的方法.通过延长控制周期以减小滑块运动速度和加速度,从而减小由滑块运动引起的附加干扰力矩,并为此设计了针对理想控制力矩基于干扰观测器的滑模控制器,以及基于优化算法的控制力矩最优分配策略.搭建了针对双执行机构的半物理仿真平台, 通过仿真,干扰观测器能有效观测系统干扰, 提高滑模控制律的姿态控制精度,姿态角收敛误差小于$\pm $0.1$^\circ$, 减弱了系统控制输入抖振现象.本研究不足之处在于设计控制律的过程中没有考虑到执行机构饱和的问题,且直接延长控制周期有可能会导致控制律不收敛,后续将针对先进姿态机动控制律展开研究.

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