区别于金属材料等人造工程材料,作为自然界中天然材料的岩土介质,具有摩擦性,其次,压硬性与剪胀性也是两大基本特性^[1-5].摩擦性表明了岩土材料的破坏特点,是以应力比作为其应力极限强度的,作为类比,金属材料则是以应力差作为其应力极限强度的.由于岩土材料具有压剪耦合特性,表明纯剪切加载下也产生塑性体积应变,发生体积屈服现象,同时单纯的等方向压缩,也会产生塑性偏应变,发生剪切屈服现象.说明岩土材料具有压缩与剪切耦合特点.由于压剪耦合特性,在不同中主应力的约束下,会形成随中主应力系数先增大后减小的内摩擦角特点^[6-7].因而,这种非单调变化的内摩擦角强度变化规律,决定了中主应力在构成最终强度值过程中起到无法忽略的作用.

对于岩土材料破坏准则的研究方面,从是否具备物理涵义方面来区分,则大体分为两类.一种是基于物理概念所提出的假说准则,另一种则是基于大量试验结果的统计抽象准则.前一种准则如著名的摩尔、库伦准则,还有Matsuoka等^[8-10]所提出的SMP准则,俞茂宏^[11-13]所提的双剪准则,都属此类.而后一种准则比如Lade与Duncan^[14-15]所提出的Lad准则,Willam-Warnke准则^[16],Hoek-Brown准则^[17-18]等等.

目前基于对单元体破坏认知所提出的假说,较为著名的如双剪应力强度理论,该理论认为单元体上某一单元面上大主剪应力与中间主剪应力的线性函数达到某一极限值时,材料开始产生屈服破坏.受双剪应力思想的影响,高江平等^[19]又提出了三剪应力强度准则,即认为大中小三个主剪应力的共同构造的函数达到某一极限值时,材料才发生破坏现象.由于未考虑静水压力对于应力诱导各向异性的影响,因而无论球应力为何值,其在偏平面上的形状保持几何相似不变,而Randolph等^[20]的试验结果证实,岩土材料由于压剪耦合特性以及静水压力效应,因而在较低的静水压力下,偏平面上表现出较为尖锐的曲边三角形形态,而在较高的静水压力下,偏平面上表现出较为趋近于圆形的曲边三角形形态.类似还有很多形状函数,如Zienkiewicz等^[21],郑颖人等^[22]提出的准则,能描述破坏时应力状态,但这种静水压力效应造成的形状影响无法得到合理反映.对于岩土材料广义准则的研究中,也取得一系列成果.如Mortara^[23]所提出的MNLD准则,将SMP准则与Lade准则通过引入一个幂参数,形成幂参数形式表达的内插函数,该准则巧妙地将SMP准则与Lade准则结合并推广为一个广义强度准则,但由于幂次上存在一个新参数,故该准则无法用广义偏应力强度显示表达,无法以此为基础得到变换应力公式.而Yao等^[24-26]所提出的广义非线性强度准则,则直接将SMP准则与广义Mises准则合并并推广为一个广义准则,且由于表达为两者的偏应力强度的线性插值形式,因而便于以此为基础推出基于该准则的变换应力公式.此外,还有其他学者基于某一特性提出反映特定性质的材料强度准则^[27-30]. Lu等^[31]基于微观结构张量法,以大主应力垂直作用于水平沉积面时应力空间与物理空间重合为基准,利用三维滑动面与沉积面之间的相对位置关系,并综合方向角$\delta$方向上的强度变化规律,提出三维横观各向同性强度参数$\eta _{n}$且将其与M-N强度准则相结合而得到了一种横观各向同性材料强度准则.此外,其他一些学者从微观组构方面对岩土材料的各向异性强度^[32-34]展开研究,取得了一定进展.对于特殊岩土的破坏特性研究,也取得了一定成果^[35-36].

基于大量的试验结果,岩土材料,无论土壤材料或者岩石材料,其二维破坏测试点在$\tau-\sigma$坐标中表现出了强烈的非线性特点,因此其破坏点的边界应为一条非线性曲线.基于上述认识,并在之前所取得成果基础上^[37-38],假定在$\tau -\sigma$坐标中存在一条幂函数曲线,可用来表达破坏曲线,该条曲线与摩尔应力圆的外切点则为破坏点,为有效简单地反映该点破坏特性,引入共点的外切直线,该直线斜率的反正切值则为有效滑移角.则对于三维单元体而言,基于三个破坏面的综合作用,由三个有效滑移角能够构造出一个空间有效滑移面.利用应力比是决定岩土材料破坏与否的判断准则,提出该空间有效滑移面上剪应力与正应力比值达到一定值时,该材料即达到破坏状态.基于上述思路,推导得到了反映岩土材料破坏特性的强度准则,在子午面上,利用开口型的幂函数曲线用于反映子午面上的剪切破坏特性,用闭口型的水滴型屈服面用于反映等方向压缩时的体积压缩屈服特性.由此推导得到一并反映压剪耦合特性的t准则.为将二维以$p-q$为变量的弹塑性模型推广为真三维应力状态模型,以该t准则为基础,提出了基于t准则的变换应力公式,使用转换应力法能够将上述二维模型修正为三维应力模型.

在二维平面坐标系$\sigma -\tau $中,假设存在强度线,为曲线型,其表达式可写为 \begin{equation} \label{eq1} \tau = n_1 \sigma ^{n_2 }(1) \end{equation} 则当$n_{2}$=1时,上式表示直线,写为 \begin{equation} \label{eq2} \tau = n_1 \sigma(2) \end{equation} 表示为库伦准则.

而当$n_{2}$=0时,则 \begin{equation} \label{eq3} \tau = n_1(3) \end{equation} 即退化为一水平直线,退化为广义Mises准则.

当$0<n_{2}<1$时,则表示为一过原点的幂函数曲线.

则对于介于0与1之间的任一值,则假定当此曲线与莫尔圆相外切时,此时,在外切点表示破坏状态,则可由图表示出来.

由图1可见,当此幂函数曲线与莫尔圆相外切时,此时外切点为$p(\sigma _{n0},\tau_{ n0})$,而根据外切条件,则有共点以及共切线两个条件. 令幂函数曲线为$\tau_{1}= n_{1}\sigma ^{n_2}$,而莫尔圆函数为$\tau_{2}=[R^{2}-(\sigma -\sigma _{0})^{2}]^{0.5}$. 其中,$R$表示莫尔圆的半径,而$\sigma_{0}$则表示为莫尔圆的圆心横坐标值. 则由上述两条件,可得如下方程组

$$ \left. {{\begin{array}{*{20}l} {\tau _1 \left( {\sigma _{n0} ,\tau _{n0} } \right) = \tau _2 \left( {\sigma _{n0} ,\tau _{n0} } \right)} \\ {\tau _1 '\left| {_{\sigma = \sigma _{n0} } = \tau _2 '\left| {_{\sigma = \sigma _{n0} } } \right.} \right.} \\ \end{array} }} \right\}(4)\\ \left. {{\begin{array}{*{20}l} {n_1 \sigma ^{n_2 } = \sqrt {R^2-\left( {\sigma-\sigma _0 } \right)^2} } \\ {n_1 n_2 \sigma ^{n_2-1} = \dfrac{-\left( {\sigma-\sigma _0 } \right)}{\sqrt {R^2-\left( {\sigma-\sigma _0 } \right)^2} }} \\ \end{array} }} \right\}(5) $$

通过求解可得到 \begin{equation} \label{eq6} \sigma _{n0} = \dfrac{\sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right) + \sqrt {\sigma _0^2-4n_2 \left( {1-n_2 } \right)R^2} }{2\left( {1-n_2 } \right)}(6) \end{equation} 在切点($\sigma _{n0}$,$\tau _{n0})$处的切线斜率为

$$ \tau _{n0} '\left| {_{\sigma = \sigma _{n0} } } \right. =\\ n_1 n_2 \sigma _{n0}^{n_2-1} = \\ \qquad n_1 n_2 \left[ {\dfrac{\sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right) + \sqrt {\sigma _0^2-4n_2 \left( {1-n_2 } \right)R^2} }{2\left( {1-n_2 } \right)}} \right]^{n_2-1}(7) $$

记此时的切点斜率为等效摩擦角的正切值

下面给出数学上的证明.

由图1可见,当曲线退化为过原点直线时,此时切点斜率为$n_1$, 而对于任意曲线与圆周外切斜率则表达为式(8),由此可得如下不等式 \begin{equation} \label{eq9} n_1 n_2 \left[ {\dfrac{\sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right) + \sqrt {\sigma _0^2-4n_2 \left( {1-n_2 } \right)R^2} }{2\left( {1-n_2 } \right)}} \right]^{n_2-1} < n_1(9) \end{equation} 式(9)经过化简可得如下不等式

$$-n_2 \left( {1-n_2 } \right)\sigma _1 \sigma _3-\sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right)\left( {n_2 ^{\frac{1}{ {1-n_2 } }}-n_2 ^{\frac{ {2-n_2 } }{ {1-n_2 } }}} \right) +\\ \qquad \left( {n_2 ^{\frac{1}{ {1-n_2 } }}-n_2 ^{\frac{{2-n_2 } }{ {1-n_2 } }}} \right)^2 < 0 (10) $$

上述不等式左侧最后一项,可化为 \begin{equation} \label{eq11} \left( {n_2 ^{\frac{1}{{1-n_2 } }}-n_2 ^{\frac{{2-n_2 } }{ {1-n_2 } }}} \right)^2 = n_2^{\frac{{3-2n_2 } }{{1-n_2 } }} \left( {\dfrac{1}{n_2 } + n_2-2} \right)(11) \end{equation} 将式(11)代入式(10)中,并化简可得 \begin{equation} \label{eq12} -\sigma _1 \sigma _3-n_2 ^{\frac{n_2 }{{1-n_2 } }}\sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right) + 1-n_2 < 0(12) \end{equation} 分为两种情况讨论：$(1)~0<n_2<0.5$

由于

$$ \dfrac{n_2 }{{1-n_2 } } < 1(13)\\ n_2 ^{\frac{n_2 }{ {1-n_2 } }} > n_2(14)\\ -\sigma _1 \sigma _3-n_2 ^{\frac{n_2 }{{1-n_2 } }}\sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right) + 1-n_2 < f = \\ \qquad -\sigma _1 \sigma _3-n_2 \sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right) + 1-n_2(15) $$

不等式右端,当$n_2=0$时,则简化为 \begin{equation} \label{eq16} 1-\sigma _1 \sigma _3 < 0(16) \end{equation} 而其导函数为 \begin{equation} \label{eq17} {f}' =-\left( {1-4n_2 } \right)\sigma _0-1 < 0(17) \end{equation}

(2) $0.5<n_2<1$

$$ n_2 ^{\frac{n_2 }{ {1-n_2 } }} > n_2 ^{\frac{1}{1-n_2}} > \frac{1}{4}(18)\\ -\sigma_1 \sigma_3-n_2 ^{\frac{n_2 }{({1-{n_2} })}}\sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right) + 1-n_2 < f = \\ \qquad -\sigma _1 \sigma _3-0.25\sigma _0 \left( {1-2n_2 } \right) + 1-n_2(19) $$

由于右侧的导函数为 \begin{equation} \label{eq20} {f}' = 0.5\sigma _0-1 > 0(20) \end{equation} 又由于 \begin{equation} \label{eq21} f\left( 1 \right) =-\sigma _1 \sigma _3 + 0.25\sigma _0 < 0(21) \end{equation} 因此仍然$f < 0$,证毕.

可设置一个表征摩擦性与凝聚性权重分配的参数$t$,且$0<t<1$由此可得 \begin{equation} \label{eq22} \tan \varphi _{e} = \dfrac{tR}{\sqrt {\sigma _0^2-R^2} },\quad {0 \le t \le 1}(22) \end{equation} 显然,当$t=0$时,则tan$\varphi $$_{ e}=0$,当$t=1$时,则$\tan \varphi _{e} = \dfrac{R}{\sqrt {\sigma _0^2-R^2} } = \dfrac{ {\sigma _1-\sigma _3 } }{2\sqrt {\sigma _1 \sigma _3 } }$.

设过两曲线公共切点的直线切线为如下表达式

\begin{equation} \label{eq23} \tau = c_{n0} + \sigma \tan \varphi _{ e}(23) \end{equation} 可写为 \begin{equation} \label{eq24} \tau _{e} = \tau-c_{n0} = \sigma \tan \varphi _{e}(24) \end{equation} 由图2所示,当处于三轴压缩时,则对于由{$\sigma $}$_{1}$和{$\sigma $}$_{3}$所组成的一对应力作用下,滑移面与{$\sigma $}$_{1}$作用面所成的夹角为45$^\circ$+$\varphi $$_{ e13}$/2. 其中,$\varphi $$_{ e13}$为对应于幂函数强度线与莫尔圆的切点所对应的等效摩擦角. 根据SMP空间滑移面的构建思路,则同理,也在三维物理空间中相应存在着一个等效滑移面(图3),其中作用于该滑移面上的为等效切应力$\tau _{en}$和等效正应力$\sigma _{en}$. 下面推导得到该等效切应力以及等效正应力.

令EA=1,则根据三角形关系,可知

同理,

根据三角函数关系,可表示为

$$ EB= \tan\varphi_{e13}+ {sec}\varphi_{e13}(27)\\ EC=\tan\varphi_{e23}+ {sec}\varphi_{e23}(28)\\ \tan \varphi _{e13} = \dfrac{tR}{\sqrt{\sigma_0^2-R^2}} = \dfrac{t\left( {\sigma_1-\sigma_3 } \right)}{2\sqrt\sigma_1 \sigma_3}(29)\\ {sec} \varphi_{e13} = \dfrac{\sqrt{t^2\left( {\sigma_1^2 + \sigma_3^2} \right) + \left(4-2t^2 \right)\sigma_1 \sigma_3}}{2\sqrt{\sigma _1 \sigma _3}}(30)\\ EB = \dfrac{t\left( {\sigma _1-\sigma _3 } \right) + \sqrt {t^2\left( \sigma _1^2 + \sigma _3^2 \right) + \left( 4-2t^2 \right)\sigma _1 \sigma _3}}{2\sqrt{\sigma _1\sigma_3} }(31)\\ tan \varphi _{e23} = \dfrac{tR}{\sqrt{\sigma _0^2-R^2}} = \dfrac{t\left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right)}{2\sqrt {\sigma _2 \sigma _3 } }(32)\\ {sec}\varphi _{e23} = \dfrac{\sqrt {t^2\left( {\sigma _2^2 + \sigma _3^2 } \right) + \left( {4-2t^2} \right)\sigma _2 \sigma _3 } }{2\sqrt {\sigma _2 \sigma _3 } }(33)\\ EC = \dfrac{t\left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right) + \sqrt {t^2\left( {\sigma _2^2 + \sigma _3^2 } \right) + \left( {4-2t^2} \right)\sigma _2 \sigma _3 } }{2\sqrt {\sigma _2 \sigma _3 } }(34) $$

对于四面体$ABCE$,对于该体上的斜面,可先确定该斜面上的法向方向,可通过方向余弦来确定. 则该斜面上法向方向线与三个坐标轴之间夹角的余弦可分别表示为$l$,$m$,$n$

$$ l = \dfrac{EC}{r} = \dfrac{EC}{\sqrt {EB^2 + EC^2 + EB^2EC^2} }(35)\\ m = \dfrac{EB}{r} = \dfrac{EB}{\sqrt {EB^2 + EC^2 + EB^2EC^2} } (36)\\ n = \dfrac{EB\cdot EC}{r} = \dfrac{EBEC}{\sqrt {EB^2 + EC^2 + EB^2EC^2} } (37)\\ s_{\Delta AEB} = \dfrac{EC}{2} (38)\\ s_{\Delta AEC} = \dfrac{EB}{2} (39)\\ s_{\Delta EBC} = \dfrac{EB\cdot EC}{2}(40)\\ AB = \sqrt {1 + EB^2}(41)\\ AC = \sqrt {1 + EC^2} (42)\\ BC = \sqrt {EB^2 + EC^2}(43) $$

令

$$r = \sqrt {EB^2 + EC^2 + EB^2EC^2}(44)\\ { sin} BAC = \dfrac{r}{\sqrt{\left({1 + EB^2} \right)\left( {1 + EC^2} \right)}}(45) $$

则等效正应力可表示为

$$\begin{align*} &\sigma _{en} = \dfrac{l\sigma _1 s_{\Delta AEC} + m\sigma _2 s_{\Delta AEB} + n\sigma _3 s_{\Delta EBC}}{s_{\Delta BAC}}(46)\\ &\sigma _{en} = \dfrac{\sigma _1 EC^2 + \sigma _2 EB^2 + \sigma _3 EB^2EC^2}{r^2}(47)\\ &\tau _{en} = \sqrt {\left( {\dfrac{\sigma _1 EC}{r}} \right)^2 + \left( {\dfrac{\sigma _2 EB}{r}} \right)^2 + \left( {\dfrac{\sigma _3 EBEC}{r}} \right)^2-\sigma _{en}^2 }(48)\\ & \dfrac{\tau _{en}}{\sigma _{en} } =\bigg[(EB^2 + EC^2 + EB^2EC^2). \\ &\qquad (\sigma_1^2 EC^2 + \sigma_2^2 EB^2 + \sigma _3^2 EB^2EC^2)/\\ &\qquad (\sigma _1 EC^2 + \sigma _2 EB^2 + \sigma _3 EB^2EC^2)^2-1\bigg]^\frac{1}{2}(49)\\ &\dfrac{\tau _{en} }{\sigma _{en} } = \dfrac{\sqrt {\left( {\sigma _1-\sigma _2 } \right)^2 + EB^2\left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right)^2 + EC^2\left( {\sigma _3-\sigma _1 } \right)^2} }{\sigma _1 {EC}/ {EB} + \sigma _2 {EB}/ {EC} + \sigma _3 EB \cdot EC}\\ &(50) \end{align*} $$

(1)当$t$=1时,则显然幂函数退化为一过原点的斜直线,则此时根据莫尔圆上几何关系,可得

$$ \begin{array}{l} \tan\varphi_{e13}=(\sigma _{1}-\sigma _{3})/(2\sqrt {\sigma _{1}\sigma _{3}})\\ {sec}\varphi _{e13}=(\sigma _{1}+\sigma _{3})/(2\sqrt{ \sigma _{1}\sigma _{3}}) \end{array} $$

因此可得EB=$\sqrt{\sigma _{1}/\sigma _{3}}$.

同理可得EC=$\sqrt{\sigma _{2}/\sigma _{3}}$.

根据四面体ABCE的力平衡条件,可推导得到

$$\begin{align*}\sigma _{en} = \dfrac{3I_3 }{I_2}(51)\\ &\tau_{en} = \dfrac{\sqrt{I_1 I_2 I_3-9I_3^2}}{I_2}(52) \end{align*} $$

因此,正应力与剪应力均退化为SMP面上的正应力与剪应力.

当$t=0$时,则显然幂函数退化为一与横坐标轴相平行的水平直线. 此时,四面体上斜面退化为八面体面,此时,由于对称性,因此, 该面上法线余弦互相相等,且由其平方和为1的条件,可知：$l=m=n=\sqrt 3/3$,因此易推知得到

$$\begin{align*} &\sigma _{en} = \dfrac{I_1 }{3} = p(53)\\ &\tau _{en} = \dfrac{\sqrt {\left( {\sigma _1-\sigma _2 } \right)^2 + \left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right)^2 + \left( {\sigma _3-\sigma _1 } \right)^2} }{3} = \dfrac{\sqrt 2 }{3}q\\ &(54) \end{align*} $$

当处于三轴压缩时,则式(50)可表达为 \begin{equation} \label{eq40} \dfrac{\tau _{en} }{\sigma _{en} } = c_1(55) \end{equation} 此时,大小主应力分别可表示为 \begin{equation} \label{eq41} \left. {{\begin{array}{*{20}l} {\sigma _1 = p + \dfrac{2}{3}q_{c} } \\ {\sigma _2 = \sigma _3 = p-\dfrac{1}{3}q_{c} } \\ \end{array} }} \right\}(56) \end{equation} 其中,$p$表示有效球应力,而$q_{ c}$则表示处于三轴压缩下的广义偏应力,脚标c表示处于常规三轴压缩下的路径. 将式(56)代入式(50)中,可得到关于$p$和$q_{c}$的函数

$$\begin{align*} &f(p,q_{c}) = \dfrac{q_{c} \sqrt{1 + EC_{c}^2}}{(p + 2q_{c} / 3 )\dfrac{EC_{c}}{EB_{c}} + \left( {p-{q_{c}}/ 3} \right)\left( {\dfrac{EB_{c}}{EC_{c}} + EB_{c} EC_{c} }\right)}(57)\\ &A_1 =(EB_{c}^2 + EC_{c}^2 + EB_{c}^2 EC_{c}^2)(58)\\ \end{align*} $$

其中

$$\begin{align*} &EB_{c} =\bigg\{tq_{c} +[t^2(2p^2 + 5q_{c}^2 / 9 + 2pq_{c}/3) +\\ &\qquad (4-2t^2)(p^2 + pq_{c} / 3-2q_{c}^2 /9)]\bigg\}^{1/2}\bigg/\\ &\qquad 2\sqrt{p^2+pq_{c}/3-2q^2_{ c}/9}(59)\\ & EC_{c} = 1 (60) \end{align*} $$

由于在三轴压缩路径下,方程式(50)与式(57)完全相等,因此得到 \begin{equation} \label{eq46} \begin{array}{l} \dfrac{3q_{c} EB_{c} EC_{c} \sqrt {1 + EC_{c}^2 } }{\left( {3p + 2q_{c} } \right)EC_{c}^2 + \left( {3p-q_{c} } \right)EB_{c}^2 \left( {1 + EC_{c}^2 } \right)} = \\ \qquad \dfrac{\sqrt {\left( {\sigma _1-\sigma _2 } \right)^2 + EB^2\left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right)^2 + EC^2\left( {\sigma _3-\sigma _1 } \right)^2} }{\sigma _1 {EC} /{EB} + \sigma _2 {EB} / {EC} + \sigma _3 EB \cdot EC} \end{array}(61) \end{equation}

对于子午面上的广义偏应力$q_{c}$可以表示为如下统一的表达式

$$ \begin{align*}&q_{c} = Mp_{r} \left(\dfrac{p + \sigma _{0}}{p_{r}} \right)^{n_3 }\cdot \Bigg\{{sgn}(\mu-1) +\\ &\qquad {sgn}~\mu \cdot\Bigg\{{\bar {p}_{c} }/\left[p_{ r}\Bigg(\dfrac{p + \sigma _{0} }{p_{r} } \Bigg)^{n_3 } \right]\Bigg\}^{1-\mu }-1 \Bigg\}^{1/2}\Bigg\} (62) \end{align*} $$

其中,$p$表示有效球应力,而{$\sigma $}$_{0}$则表示三向拉伸强度. $p_{ r}$为参考球应力,反映在此应力值下,子午面上破坏曲线的割线斜率可保证式(62)括号中的比值量纲唯一,使等式左右量纲相同. 对于散粒体材料,$p_{r}$通常取一个标准大气压值. {$\mu $}则表示为反映压剪耦合特性的材料参数,由岩土材料的不排水剪切强度来确定 \begin{equation} \label{eq48} M = \left\{ {{\begin{array}{*{20}l} {M_{f} }, & {\mu = 1} \\ {M_{y} },& {0 \le \mu <1} \\ \end{array} }} \right.(63) \end{equation} 开关函数可表达为 \begin{equation} \label{eq49} {sgn}x = \left\{ {{\begin{array}{*{20}l} 0, & {x<0} \\ 1,& {x \ge 0} \\ \end{array} }} \right.(64) \end{equation}

当参数$\mu = 1$时,则式(62)可退化为如下形式. 式(65)即为广义非线性强度准则^[39-40]中用于描述子午面上偏应力强度的关系式 \begin{equation} \label{eq50} q_{c} = M_{f} p_{r} \left( {\dfrac{p + \sigma _{0} }{p_{r} }} \right)^{n_3 }(65) \end{equation}

为了合理考虑岩土材料的压剪耦合特性,引入能够描述岩土体积剪切与体积压缩相耦合的屈服面表达式^[41]. 当参数满足$0 \le \mu < 1$时,则式(62)可退化为如下形式 \begin{equation} \label{eq51} q_{c} = Mp_{r} \left(\dfrac{p + \sigma _{0} }{p_{r} } \right)^{n_3 }\sqrt {\left( {\dfrac{\bar {p}_{c} }{p_{r} \left( {\dfrac{p + \sigma _{0} }{p_{r} }} \right)^{n_3 }}} \right)^{1-\mu }-1}(66) \end{equation}

当参数$\mu = 1$时,则t准则在主应力空间为开口曲面,描述的是岩土材料在剪切破坏模式下的特性,其破坏曲面如图4所示. 而当$0 \le \mu < 1$时,则t准则在主应力空间为封闭曲面,表述的是岩土材料剪切、等向压缩屈服相互耦合特性的屈服面.

由于该强度准则的核心是由比例因子参数$t$作为控制偏平面上形状的主要因素,因此命名该准则为t准则. 由图4可见,反映摩擦性与凝聚性权重的比例因子参数$t$对于偏平面上不同应力罗德角下材料的强度特性影响显著. 当$t$=0时,此时,由于有效滑移角为零,因而材料破坏只受到偏差应力强度控制,因而退化为广义Mises强度准则,反映的是金属材料的宏观破坏性质. 当$t$=1时,则t准则退化为SMP准则,反映的是纯摩擦性的材料破坏特性,而当$0<t<1$时,则反映的是具有部分摩擦部分凝聚性材料的破坏特性. 而当$t>1$时,则反映的是受应力罗德角影响更为显著的材料破坏特性,如图中$t$=2时的破坏曲线,反映了偏平面上破坏曲线逐渐趋向于等三角形曲线的特点.

图5中所示分别为不同$t$值下的破坏面形态,为了便于观察,取$M_{ f}$不同值时,即对$M_{f}$由小到大分别为0.7,1.0,1.4,1.8, 2.4下的破坏面分别对应着 图5中由内到外的空间破坏面,其所对应的$t$值分别为0,0.3,0.6,0.8,1.0. 由图可见,当$t$值由小到大变化时,对应的破坏面的形态在偏平面上由圆形逐渐过渡为较为尖锐的曲边三角形形态.

2.1 参数$t$的确定

由图4可见,显然对于任意$t$值下,在三轴压缩所对应的偏应力强度值恒定,但对于其他应力罗德角下的广义偏应力强度值,却均不同,因而,显然可将$t$值与描述偏平面上曲线形状特性相联系. 观察 图4可知,由于对应三轴伸长的偏应力强度值各个不同,因而,可将三轴伸长偏应力强度值与对应的三轴压缩偏应力强度值的比值$\beta $=$q_{c}$/$q_{e}$,作为确定$t$值参数的依据. 根据近似,建议可取如下公式作为确定参数$t$的表达式

分析上式,显然当$\beta $=1时,则此时$t$=0,对应的是广义Mises准则,而$\beta $=3/(3+$M)$时,则此时$t$=1,对应的是SMP准则.

岩土材料往往具有压剪耦合特性,利用参数{$\mu $}作为度量压剪耦合性质的参数. 可由三轴压缩不排水应力路径下固结不排水抗剪强度来确定. 根据屈服面的解析式(66),可由体变为零条件导出参数{$\mu $}的公式

$$\mu = 1 + \dfrac{\kappa }{\lambda -\kappa } + \dfrac{\ln 2}{\ln \dfrac{q_{u}}{{M{p_{c0}}}}}(68) $$

其中,$\lambda,\kappa$分别为在$e$-ln$p$坐标中整理得到的压缩线斜率与回弹线斜率;$e_0$为土体的初始孔隙比. 在不排水条件下加载直至达到临界状态时,应力比等于临界状态应力比$M$, 此时的剪应力为不排水抗剪强度$q_{u}$,$p_{c0}$为初始固结应力.

为表示子午面上强度曲线的弯曲程度,采用参数$n$作为强度曲线的幂次.

通过式(65)变形可得到如下的关系式 \begin{equation} \label{eq52} \ln \dfrac{q_{c} }{p_{r} } = n\ln \dfrac{p + \sigma _0 }{p_r } + \ln M_{f}(69) \end{equation}

由上述方程拟合出的直线型曲线,斜率为$n$,而截距值为ln$M_{f}$. 由此,即可确定出参数$n$以及$M_{f}$.

强度曲线的初始点在原点左侧时,此时$\sigma _{0}$为强度曲线与静水压力轴的左交点值,该参数的物理意义表示材料在三向拉伸条件下的强度值, 往往通过材料的单轴拉伸强度,结合经验公式来确定给出.

参数$p_{r}$反映在一定静水压力下,将剪切强度$q$归一化的特征压力. 另外,也起到将静水压力无量纲化的作用,通常在砂土等散粒体条件下,可取为一个大气压力值.

根据图4所示材料参数$t$影响偏平面上强度曲线的形状,且都通过三轴压缩路径上一点,则根据变换应力一般化的思路,可采用图4中强度曲线上任意一点的应力状态来表示三轴压缩上的应力状态点. 则根据上述思路,则可知当处于三轴压缩路径下,达到强度线上的应力状态时,则根据空间滑移面的物理意义, 对应三轴压缩路径下的空间滑移面上的剪应力与正应力之比与一般应力路径下相等.

$$\begin{align*} &\tan \varphi _{mo} \left( {p,q_{c} } \right) = \tan \varphi _{mo} \left( {\sigma _1 ,\sigma _2 ,\sigma _3 } \right)(70)\\ &\dfrac{3\sqrt 2 q_{c} EB_{c} }{\left( {3p + 2q_{c} } \right) + 2\left( {3p-q_{c} } \right)EB_{c}^2 } =\\ &\qquad \dfrac{\sqrt {\left( {\sigma _1-\sigma _2 } \right)^2 + EB^2\left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right)^2 + EC^2\left( {\sigma _3-\sigma _1 } \right)^2} }{\sigma _1 {EC}/ {EB} + \sigma _2 {EB}/{EC} + \sigma _3 EB \cdot EC}(71) \end{align*} $$

类比SMP的形状函数^[22],由于所提的t准则表达式也具有更为一般的摩擦法则涵义,因此,其表达式的广义偏应力可表示为

$$\begin{align*}&q = \dfrac{3\sqrt 3 p\sin \varphi _{mo} }{2\sqrt {2 + \sin ^2\varphi _{mo} } \cos \psi }(72)\\ & \varphi _{mo} = \tan ^{-1}\\ &\qquad\left[ {\dfrac{\sqrt {\left( {\sigma _1-\sigma _2 } \right)^2 + EB^2\left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right)^2 + EC^2\left( {\sigma _3-\sigma _1 } \right)^2} }{\sigma _1 {EC}/ {EB} + \sigma _2 {EB}/ {EC} + \sigma _3 EB \cdot EC}} \right] (73)\\ &EB = \dfrac{t\left( {\sigma _1-\sigma _3 } \right) + \sqrt {t^2\left( {\sigma _1^2 + \sigma _3^2 } \right) + \left( {4-2t^2} \right)\sigma _1 \sigma _3 } }{2\sqrt {\sigma _1 \sigma _3 } }(74)\\ &EC = \dfrac{t\left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right) + \sqrt {t^2\left( {\sigma _2^2 + \sigma _3^2 } \right) + \left( {4-2t^2} \right)\sigma _2 \sigma _3 } }{2\sqrt {\sigma _2 \sigma _3 } }(75)\\ &\psi = \dfrac{1}{3}\cos ^{-1}\left[ {-\left( {\dfrac{3}{2 + \sin ^2\varphi _{mo} }} \right)^{3 / 2}\sin \varphi _{mo} \cos 3\theta } \right](76) \end{align*} $$

其中,$\theta $为应力罗德角,可表示为 \begin{equation} \label{eq60} \theta = \tan ^{-1}\dfrac{\sqrt 3 \left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right)}{2\sigma _1-\sigma _2-\sigma _3 }(77) \end{equation} 对应t准则的偏平面上的形状函数可表示为 \begin{equation} \label{eq61} \mbox{g}\left( \theta \right) = \dfrac{\sqrt 3 \left( {\sqrt {8 + \sin ^2\varphi _{mo} }-\sin \varphi _{mo} } \right)}{4\sqrt {2 + \sin ^2\varphi _{mo} } \cos \psi }(78) \end{equation}

由于已知有基于t准则的形状函数,因此,可得到在对应任意一个球应力$p$下的三轴压缩路径下的广义偏应力$q_{ c}$,因此,可得到 \begin{equation} \label{eq62} q_{c} \mbox{ = }\dfrac{q}{\mbox{g}\left( \theta \right)} = \dfrac{6p\sin \varphi _{mo} }{ {\sqrt {8 + \sin ^2\varphi _{mo} }-\sin \varphi _{mo} } }(79) \end{equation}

由于变换应力基于每个增量步进行变换,对于每个应力,将其用偏应力分量$s_{i}$来表示,由于在偏平面上偏应力为主要考察因素,因此每一应力的偏应力分量将其与三轴压缩路径下的偏应力分量做对比,可对于每个应力的所有分量相应成比例放大与$q_{ c}$相对应的相同值, 因此可参考姚仰平等^[39]基于SMP准则的变换应力方法,采用的基于t准则的一般化变换应力公式可表示为

$$\begin{align*}& \tilde {\sigma }_i = \left\{ {\begin{array}{ll} p + \dfrac{q_{c} }{q}(\sigma _i-p),& {q \ne 0} \\ \sigma _i ,&{q = 0} \\ \end{array}} \right.(80)\\ &\dfrac{\partial \tilde {\sigma }_j }{\partial \sigma _i } = \dfrac{1}{3} + \dfrac{s_j }{q}\dfrac{\partial q_{c} }{\partial \sigma _i } + \dfrac{q_{c} }{q}\left( {\delta _{ij}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2q^2}s_i s_j } \right)(81) \end{align*} $$

式(81)中$\dfrac{\partial q_{c}}{\partial \sigma_{i}}$可表示为

$$\begin{align*} & \dfrac{\partial q_{c}}{\partial\sigma _i} = \dfrac{1}{3}\dfrac{\partial q_{c} }{\partial p} + A_5 \dfrac{\partial q_{c} }{\partial \sin \varphi _{mo}}\left( 1 + \tan ^2\varphi _{mo}\right)^{-\frac{3}{2}}(82)\\ &A_5 = B_i + \dfrac{\partial \tan \varphi _{mo} }{\partial EB}\dfrac{\partial EB}{\partial \sigma _i } + \dfrac{\partial \tan \varphi _{mo} }{\partial EC}\dfrac{\partial EC}{\partial \sigma _i } (83)\\ & \dfrac{\partial q_{c} }{\partial \sin \varphi _{mo} } =\\ &\qquad \dfrac{24p}{\left( {4 + \sin ^2\varphi _{mo} } \right)\sqrt {8 + \sin ^2\varphi _{mo} }-\sin \varphi _{ mo} \left( {8 + \sin ^2\varphi _{mo} } \right)}(84) \end{align*} $$

令

$$\begin{align*}& \sigma _A = \left( \sigma _1 EC^2 + \sigma _2 EB^2 + \sigma _3 EB^2EC^2 \right)(85)\\ &\sigma _B = t + \dfrac{t^2\sigma _i + \left( {2-t^2} \right)\sigma _j }{\sqrt {t^2\left( {\sigma _i^2 + \sigma _j^2 } \right) + \left( {4-2t^2} \right)\sigma _i \sigma _j } }(86)\\ & \sigma _C = \sqrt {\dfrac{\sigma _j }{\sigma _i }} \Bigg[ {t\left( {\sigma _i-\sigma _j } \right) + \sqrt {t^2\left( {\sigma _i^2 + \sigma _j^2 } \right) + \left( {4-2t^2} \right)\sigma _i \sigma _j } } \Bigg] (87)\\ &R = \sqrt {\left( {\sigma _1-\sigma _2 } \right)^2 + EB^2\left( {\sigma _2-\sigma _3 } \right)^2 + EC^2\left( {\sigma _3-\sigma _1 } \right)^2} (88)\\ &\dfrac{\partial \tan \varphi _{mo} }{\partial EB} = \dfrac{{1}}{\sigma _A^2 }\Bigg\{ \left[ R \cdot EC + \dfrac{EB^2 \cdot EC( \sigma _2-\sigma _3)^2}{R} \right]\sigma _A-\\ &\qquad 2R \cdot EB^2 \cdot EC(\sigma_2 + \sigma _3 EC^2) \Bigg\}(89)\\ &\dfrac{\partial \tan \varphi _{mo} }{\partial EC} = \dfrac{\mbox{1}}{\sigma _A^2 }\Bigg\{ \left[ {R \cdot EB + \dfrac{EB \cdot EC^2\left( {\sigma _3-\sigma _1 } \right)^2}{R}} \right]\sigma _A -\\ &\qquad 2R \cdot EB \cdot EC^2\left( {\sigma _1 + \sigma _3 EB^2} \right) \Bigg\}(90)\\ & \dfrac{\partial EB}{\partial \sigma _i }\mbox{ = }\left\{ {{\begin{array}{*{20}l} {\dfrac{2\sqrt {\sigma _i \sigma _j } \sigma _B-\sigma _{c} }{4\sigma _i \sigma _j }} ,& {i \ne 2,~j \ne 2}\\ 0,& {i = 2} \\ \end{array} }} \right.(91)\\ &\dfrac{\partial EC}{\partial \sigma _i }\mbox{ = }\left\{{ \begin{array}{*{20}l} 0,& {i = 1} \\ \dfrac{2\sqrt {\sigma _i \sigma _j } \sigma _B-\sigma _{c} }{4\sigma _i \sigma _j }, & {i \ne 1,j \ne 1} \\ \end{array}} \right.(92) \end{align*} $$

利用一些岩土材料的强度测试数据以及真三轴试验数据对所提的强度准则以及变换应力法进行验证. 图6所示离散点为Nakai等^[2]关于Toyoura砂土在真三轴条件下的测试结果,有效球应力为196 kPa, 保持恒定. 通过三轴压缩直到三轴伸长的各个测试点,如图6所示,所提的t准则其预测曲线较好地符合了砂土的真三轴测试结果. 表1所示为几种岩土材料的参数.

图7中离散点为Mogi等^[42]关于粗面岩在真三轴偏平面上的测试结果. 球应力保持为167 MPa不变,基于已有的不同中主应力对强度的贡献,从三轴伸长到三轴压缩路径,随着中主应力的增大,广义偏应力强度也随着增大,在三轴压缩条件下达到最大的偏应力强度值. 基于t准则所给出的预测曲线较好地符合了试验结果.

图8中离散点为Sutherland等^[43]关于两种砂土的真三轴强度测试结果数据. 随着中主应力系数$b$的增大,砂土内摩擦角表现出先增大后减小的现象. 且出现两种特点：(1)三轴压缩即$b$=0所对应的内摩擦角与三轴伸长$b$=1所对应的角度几乎相等; (2)关于$b$=0.5内摩擦角的曲线显然呈现出非对称性,在$b$从0~0.4阶段内,曲线单调增大,在$b$从0.4$\sim $1阶段内,曲线单调减小. 由于随着中主应力的变化,此时,当$b$=0.3左右时,此时接近平面应变状态,由于中主应变变形较小,因而会得到较高的内摩擦角强度值. 由图8可见,所提的t准则所预测的两条曲线较好地符合了上述两条特点,且与试验数据符合较好.

图9中离散点为Ramamurthy等^[44]关于砂土的真三轴强度测试结果数据. 由图9可见,砂土内摩擦角随中主应力系数$b$的变化规律仍然是先增大后减小的规律, 且由所提的t准则曲线能较好地符合测试结果.

利用所提的基于t准则变换应力法对DUH模型^[45-46]进行应力的一般化处理,修正后的DUH模型为三维应力本构模型,为了对应力变换法进行测试验证,取一组关于黏土的真三轴测试结果进行预测对比. 图10~图14中离散点为Chowdhury等^[47]关于藤森黏土的真三轴应力应变关系测试结果. 测试中,保持有效球应力$p$=196 kPa为恒定值,应力路径沿着偏平面上等倾线分别沿着应力罗德角$\theta $=0$^\circ$,15$^\circ$,30$^\circ$,45$^\circ$,60$^\circ$五条直线路径加载.

图10为三轴压缩即$b$=0条件下的预测与试验对比结果. 由于中主应力与小主应力相等,因而只绘制了小主应变曲线与大主应变曲线随应力比的结果,图10中点划线为体应变随大主应变的预测对比结果. 由图可见,利用所提的t准则变换应力法修正后的DUH模型可较好地预测三轴压缩的测试结果.

图11中为对应三轴伸长即$b$=1的测试与预测对比. 由图可见,对于大小主应变随应力比的预测结果,应力比强度值预测稍偏小于测试结果, 而体应变与大主应变的关系曲线对比,体应变预测值要稍大于实测值.

对于真三轴路径下$b$=0.268条件下的预测对比结果,由图12可见,由于此时的真三维应力状态接近于平面应变应力状态,因而此时中主应变接近于零,图12中实测值中主应变为负值. 基于t准则的应力变换法修正的DUH模型可较好地预测$b$=0.268下的应力应变关系曲线.

图13中为$b$=0.5条件下的预测对比结果. 由图可见,随着$b$值增大,中主应力的增大,中主应变转为正值,表现为压缩应变,利用所提的应力一般化方法修正的模型可较好地预测这一现象,预测体变值稍大于实测值.

图14中为$b$=0.732条件下的预测对比结果. 由图可见,中主应变越来越接近大主应变的应力应变曲线,预测曲线也较好地预测了这一规律. 对于大中小主应变随应力比的关系曲线,预测值与实测值吻合较好,而体变值与大主应变的关系曲线,预测值要稍低于实测值.

(1)基于平面应力强度为曲线型的假设,利用该曲线与摩尔圆外切点的共点直线斜率反正切值作为二维有效滑移角,对于三维单元体,可得到三维有效滑移面,并基于三维滑移面切应力与正应力之比达到某一定值即材料破坏的思想,推导得到了该三维有效滑移面的t强度准则关系式.

(2)在子午面上,利用幂函数曲线型作为强度准则表达式,而岩土材料具有压剪耦合特性,基于体积压缩所导致的屈服特性,提出了一并考虑剪切破坏屈服与压缩体积屈服相耦合的破坏准则关系式.

(3)基于上述所提的t强度准则,利用有效滑移面的思想,提出了基于t强度准则的变换应力公式. 基于t准则的变换应力法修正的二维模型,可以方便地用于描述真三维应力状态下的应力应变关系.

采用所提的t准则以及基于t准则的变换应力法,对于砂土、岩石以及黏土的强度以及应力应变关系进行预测,对比结果表明,所提的t准则及变换应力法可简单准确地应用到岩土材料的模拟中,具有很强的适用性以及实用性.