剪切带是一种材料塑性变形高度局域化的变形模式, 广泛存在于非晶体系的形变中,也是无序体系塑性形变的最主要载体,并对这些体系的失稳、灾难性断裂行为都有重要影响^[1-4].常见的非晶体系如岩石、玻璃、聚合物、颗粒物和胶体等, 或因为结构过于复杂,或因为力学性能较差, 给剪切带力学行为的实验研究带来了极大挑战和困难.近年来,非晶合金这一新兴玻璃材料的出现突破了这一困境, 极大丰富了剪切带的实验研究,也激发了人们对剪切带的研究兴趣.于20世纪60年代, 非晶合金是一种新型合金最先被发现^[5],它可通过急冷熔融合金液体制得到.其最主要的特点是具有像玻璃一样无序的原子结构,所以又被称为金属玻璃.结合玻璃结构和金属键特性,非晶合金展现出许多优异的力学性能,如高强度和硬度、大弹性、耐磨耐蚀以及一定的塑性变形能力,在航空航天、精密机械、军事武器等高技术领域展现出广泛的应用前景^[6-7].但也是因为其独特的原子结构,非晶合金的力学行为与晶体合金迥然不同.受外力时,非晶合金的无序原子结构不能像晶格一样通过位错运动产生塑性形变,而是表现出多体相互作用的不稳定性,无序性和复杂性.

非晶合金的塑性形变具有强烈的温度和应力依赖性^[8].在接近或超过玻璃化转变温度$T_{\rm g}$时, 其塑性形变方式为均匀黏滞性变形,此时整体材料皆可参与形变. 而在远低于$T_{\rm g}$的温度下,其塑性形变表现出高度的空间局域化特征, 材料塑性流动高度集中于厚度不超过20nm的剪切带内. 剪切带内部应变量可以高达1000%$\sim$10000%^[9],而其外部却几乎没有塑性变形. 在拉伸载荷下,剪切带一旦生成就会在极短的时间内扩展失稳,导致非晶合金脆性断裂而没有拉伸塑性^[10].这也极大限制了非晶合金作为结构材料应用于工程中. 在受限加载(如压缩、弯曲)条件下,由于正应力或几何形状等因素对剪切带扩展和运动的限制作用,部分非晶合金可以通过剪切带增殖和交互运动有效地耗散外界功,进而表现出一定的塑性变形^[11-12]. 室温下, 剪切带是非晶合金变形的最主要特征,与非晶合金的屈服, 塑性和断裂等力学行为是密切相关的,对非晶合金力学性能的设计、开发以及应用都至关重要.

除了空间上的高度不均匀性, 非晶合金剪切带运动还具有时间上的不连续性,表现为应力-应变曲线上的锯齿流变行为^[13-16].锯齿流变行为通常出现在受限的加载条件下(如压缩,弯曲和纳米压痕等),表现为在塑性变形阶段, 应力突然小幅下降,而后又弹性上升.应力上升部分为弹性加载的过程,这个过程中没有塑性变形.而应力下降对应不连续的塑性变形事件, 持续时间极短,通常在毫秒量级.应力升降循环交替出现,直到最后材料的断裂.非晶合金的锯齿流变行为反映了剪切带运动的间歇性特点.

剪切带这种在空间上的分布不均匀性和时间的运动不连续性,使其行为变成复杂的动力学系统. 其主要表现为形貌和分布复杂无规律,运动和失稳具有灾变性而难以预测,为相关研究带来了极大的挑战.但是近来研究发现剪切带的行为也具有复杂动力学系统的特征,如自组织行为和混沌特征^[17].这与自然界中一些典型的灾变现象(地震,雪崩和山体滑坡等)以及物理体系中一些复杂系统的动力学行为(润滑,磨擦,磁畴运动等)非常相似^[18].因此,对非晶合金剪切带行为的研究不仅对非晶合金的力学行为的认识和调控有重要意义,对自然灾害的预防以及整个非晶体系形变行为的认识也有重要价值.本文结合团队近年来在非晶合金剪切带研究方面的结果,对非晶合金剪切带力学行为和物理机制展开综述,重点介绍其锯齿流变和自组织临界行为的表现, 机制及与宏观力学行为和性质的关联,最后对非晶合金剪切带的行为和性质亟需解决的问题以及未来的研究方向进行展望.

非晶合金的剪切带运动具有时间上的不连续特征, 表现为应力-应变曲线上的锯齿流变行为, 如图 1所示.应力上升部分为弹性的再加载过程; 应力下降部分才代表材料的真正塑性应变过程,即剪切带的形成和扩展过程锯齿流变行为. 在剪切带形成和扩展之前,能量缓慢地进行积累, 而一旦剪切带形成之后便会迅速扩展, 能量快速释放. 锯齿应力下降幅度可用来表征锯齿,因为应力下降幅度和材料的塑性变形密切相关,一般反映了剪切带的滑移量的大小^[19]. 随着载荷增大,当局域材料屈服或剪切带出现后,锯齿流变行为便开始出现在力学响应中直到材料断裂.不仅单一的块体金属玻璃材料会发生锯齿流变,以块体金属玻璃为基体的复合材料也会形成锯齿流变^[20],而且在金属玻璃的变形的分子动力学模拟中, 也会观察到这种现象^[21],这说明锯齿流变行为是金属玻璃的一个普遍的力学响应.锯齿流变行为也常见于自然界一些无序体系力学响应中,如地震波^[22]、噪声^[23]和摩擦滑动^[24]等,与无序体系的形变和失效机制密切相关. 因此,研究锯齿流变行为对认识金属玻璃及其复合材料的变形机理具有重要意义.

非晶合金锯齿流变行为强烈依赖于其变形时的温度和应变速率^[17].随着温度的降低或者应变速率的增大, 锯齿流变行为会逐渐减弱.在某个临界温度或者应变速率,锯齿流变行为将完全消失从而发生锯齿向非锯齿流变的转变,说明锯齿流变具有典型的动力学特征.本团队分别在不同的温度和不同应变率下对非晶合金的进行压缩实验,系统地研究了温度和应变率对锯齿流变行为的影响^[16,27],以及锯齿形貌和塑性形变的关联性.发现在温度低于某个临界值或者应变率高于某一临界值, 锯齿就会消失,如图2所示, 同时塑性形变也大大增加. 类似的现象在非晶纳米压痕实验中也有报道.Schuh和 Nieh^[13]在Pd非晶纳米压痕中实验中发现,应力锯齿在一定的加载速率下会消失(见图1(b)).通过系统的非晶合金压缩实验,发现其锯齿流变行为和样品的成分和弹性模量、形状、尺寸以及测试仪器的刚度等各种内在和外在因素密切相关^[28].当这些因素发生改变时, 锯齿的大小、间歇时间等特征也会发生明显的改变,如图3所示.

大量的实验研究发现^[25-29], 除了极少数的韧性金属玻璃外,大部分金属玻璃的压缩变形都可以形成一条主剪切带,且这条主剪切带在达到塑性屈服点时即可以贯穿整个样品,随后的变形过程以主剪切带在整个滑移面的协同式的间歇性的滑移.这样在塑性变形的稳定区域,应力应变曲线上的锯齿和单个主剪切带在滑移平面上的间歇性滑动具有一一对应的关系.通过对锯齿流变过程中单个锯齿的特征参数分析, 可以研究剪切带的动力学过程.利用应力锯齿和剪切带间歇性滑移的对应关系, 可以间接地研究剪切带的运动过程.Song等^[25]通过准确测量应力锯齿降的持续时间和在锯齿降过程中剪切带的滑移距离,同时通过高精度的引伸计可以精确测量剪切带在锯齿下降过程中的时间即剪切带发生滑移的时间,计算出了剪切带滑移过程中的平均速度, 大约在300$\sim$800 $\mu $m/s 之间,如图4所示. 并通过剪切带速率可估算剪切带黏度^[25], 如图5(a)所示.

通过这种方法估算的剪切带的黏度大约10$^{4}$ Pa$\cdot$s 以上, 已经达到过冷液体的黏度.Wright等^[29]则通过剪切带速率根据热传导理论估算出其内部的温升, 如图5(b) 所示. 计算温升时考虑了两种剪切带的扩展方式,即剪切带扩展前沿沿滑移面的扩展以及剪切带在整个平面的协同滑移.发现两种扩展方式下剪切带的温度最大升高仅为65 K.该温度升高远未达到该材料的玻璃转变温度.该结果证明了温度升高可能在非晶合金的塑性变形过程中并不显著.

关于锯齿流变的物理机制, 目前普遍认为与剪切带的形成和扩展密切相关.一种观点认为锯齿是剪切带间歇式滑移运动的响应.剪切带滑移时造成整个体系的部分弹性能释放, 导致应力突然下降.很多非晶合金在压缩变形中通常只形成一条贯穿整个样品的主剪切带,并沿着主剪切带滑移至最终断裂.Song等^[15]用高速摄像机原位对压缩过程剪切带的变化进行了观测,发现主剪切带间歇滑移所形成的表面台阶和应力-应变曲线上的锯齿具有一一对应的关系,而且在样品的断面观测到了剪切带滑移留下的规则的滑移条纹.该实验有力地证实了锯齿流变是剪切带间歇性滑移的结果. 另外一种观点认为,一个锯齿对应着一条剪切带的形成和扩展的全过程,而应力曲线上循环出现的锯齿是由于多条剪切带不断形成的结果.这种观点主要基于非晶合金的纳米压痕现实验,纳米压痕中压头下方材料所受应力比较复杂, 通常形成复杂的多条剪切带. Schuh和Nieh^[13]曾用这种观点来解释纳米压痕中的应力锯齿在一定的加载速率下消失的现象.他们认为单个剪切带的产生受动力学条件的限制, 会存在一个临界的最大产生速率,当外加应变速率超过该临界速率时, 多条剪切带就会同时产生,导致较为均匀的塑性变形从而导致锯齿消失.

2013年, Sun等^[16]基于非晶合金压缩实验提出了一种剪切带运动的stick-slip模型,用以解释锯齿流变行为. 该模型不仅考虑了剪切带内部的本构变形行为,还包括了测试仪器的弹性变形对剪切带运动行为的影响, 如图 6所示. 在压缩过程中,样品和测试仪器可以看成是一个耦合的弹性系统, 其刚度分别为$k_{\rm S}$和$k_{\rm M}$, 弹性能存储在样品和测试仪器组成的系统中. 材料一旦发生屈服,剪切带新开始形成并滑移, 造成整个系统的弹性能的突然释放,从而导致加载应力的快速下降. 在恒定的加载速率$\upsilon_{0}$下剪切带滑移运动方程可表示为

式中, $k =E/[L(1 + S)]$ 为系统单位面积的弹性常数, $E$和$L$分别为样品的弹性模量和高度, $S =k_{\rm S}/k_{\rm M}$;$x_{\rm s}$ 为剪切带在 $t$时刻的垂直滑移距离; $m$为系统的有效质量; $\sigma_{\rm b}$ ($\upsilon, \theta $)为剪切带运动的垂直抵抗应力,一般为剪切带滑移速度$\upsilon (\upsilon =\dot{{x}}_i)$和内部状态参量$\theta$的函数; $\sigma_{\rm b}$ ($\upsilon, \theta$)实际上代表了非晶材料流变的本构关系, 可用STZ理论来描述, 这里采用了 Johnson提出的 STZ理论表达式^[32].采用有效无序温度作为剪切带运动演化的内部状态参量, 可以写出其演化的动态方程.这样就得到了描述单个剪切带运动的完整的方程组.

对方程组数值解析发现, 剪切带的运动方程有一个稳态解. 但在一定条件下,这种稳态解是动力学不稳定的,施加在该稳态解上的一些扰动会逐渐增大并最终发展成稳定的锯齿, 如图6(b) 所示.这说明锯齿流变实际起源于剪切带在运动过程中的一种本征动力学不稳定性.控制这种不稳定性出现的关键理论参数为$k_{\rm cr}$, 称为临界刚度,可以表示为变形温度和加载速率的函数

式中, $\alpha$, $C_{0}$ 为常数, $\sigma_{\rm b0}$和$\upsilon_{\rm c}$均为剪切带的特征强度和速度,$W_{0}$为STZ在0 K的激活能. 当$kk_{\rm cr}$时,锯齿流变不会出现, 剪切带以外加载速度$\upsilon_{0}$稳态滑动;$k=k_{\rm cr}$对应锯齿流变向非锯齿流变转变的临界点. 在锯齿出现的范围内,锯齿的大小和 $k/k_{\rm cr}$的比值密切相关: $k/k_{\rm cr}$越接近于1, 应力锯齿幅度越小.这个理论结果可以统一地解释各种内在和外在因素对锯齿流变行为的影响.从公式可以看出, 锯齿流变行为依赖于温度和加载速率.在此可以用转变图来更直观表示锯齿流变对温度和加载速率的依赖行为,如图6(c)所示. 当变形温度降低或者应变速率增加时, $k_{\rm cr}$逐渐减小, 而$k$不变,因此应力锯齿幅度逐渐减小, 当 $k_{\rm cr}$ 降到$k$值以下时, 锯齿完全消失,锯齿流变向非锯齿流变的转变. 该理论预测结果和实验结果符合得非常好. 通过$k=k_{\rm cr}$, 还可发现锯齿消失的临界应变速率符合 Arrhenius公式, 即$\dot{\varepsilon}_{\rm cr} = \dot{\varepsilon}_{\rm c}\exp[-Q/(k_{\rm B}T)]$,这也和实验得到的拟合公式完全符合.样品模量、大小和加载仪器刚度对锯齿流变的影响都可以会反映在$k$值的变化上.例如, 当样品模量增高时, $k$值增大, $k/k_{\rm cr}$ 增大并接近于 1,此时锯齿逐渐减弱并最终消失; 逐渐增加样品的直径 (长径比保持不变)或者测试仪器的刚度, 也会产生相同的效果. 通过进一步的理论分析表明,$k_{\rm cr}$和非晶合金流动强度的应变速率敏感系数相联系, $k_{\rm cr}\sim-({\rm d}\sigma_{\rm b}|{\rm d}\upsilon)|_{\upsilon=\upsilon_0}$.因此锯齿流变出现的必要条件 ($k_{\rm cr}>0$) 为非晶流动的负应变速率敏感系数.

从式(2)可以看出, 实验中测得的应力为$\sigma=k(\upsilon_{0}t-x_{\rm s})$, 经过对时间微分变换可以得到剪切带的瞬时滑移速度 $\upsilon_{\rm s}=\upsilon_{0}-({\rm d}\sigma /{\rm d}t)/k$. 因此, 如果采用高采样频率的载荷传感器能准确地捕捉到锯齿下降部分的应力随时间的变化$\sigma(t)$,就可以进行微分求导得到 ${\rm d}\sigma /{\rm d}t$, 从而利用上述公式计算得到剪切带在锯齿下降过程中的瞬时速度变化. 采用上述方法,对非晶合金从屈服到最后断裂发生之前的主剪切带的瞬时速度变化进行了追踪,并提取出剪切带失稳的临界最大速度.通过对各种不同条件下90个非晶合金样品的测量,发现剪切带失稳的临界速度趋于一个常数 (约为$1.5\times 10^{-4}$ ms$^{-1})$.该实验说明剪切带的失稳过程受一个临界应变速率的控制, 这也正好验证了Furukawa和 Tanaka 提出的剪切带失稳的液体不稳定性理论,这也从侧面说明了非晶合金的剪切带变形过程是一种由应力引起的玻璃转变现象.

自组织临界性(self-organized criticality, SOC) 是20世纪80年代由物理学家Bak等提出来描述复杂非平衡态系统时空演化规律的重要理论^[30].复杂系统和现象广泛存在于自然界、物理、生物以及社会科学中,与人们的生活密切相关. 通过大量数据的研究和分析,人们逐渐注意到其中的一些现象, 如地震和森林火灾等灾难事件的发生、电子器件的噪声、心率的涨落、DNA序列、股票价格变化、高速公路车流的变化等,虽然表面表现出复杂和随机性且内在物理机制不同,但在动力学行为演化上却表现出相似的简单规律^[31]. 所谓的临界性,是指系统的动力学行为在时间上和空间上均没有特征尺度, 即符合幂律分布.如从同一地区长时期发生的地震规律来看, 大地震并不常见而小震时有发生.一条河流其主流并不多而支流分岔较多.地震的震级和其发生概率、河流的大小和数量之间均符合幂律分布.时间上的幂律分布即闪烁噪声效应; 空间上的幂律分布则为分形的几何结构.

经典的沙堆模型可很好地描述自组织临界状态的形成^[31].在一个平台上逐渐加沙粒来形成一个沙堆, 每次加一粒. 随着沙堆的升高,其斜度也逐渐增大. 但沙堆斜度不能无限增大, 当达到一定斜度后就不再变化.此时的沙堆系统便演化到了一个临界状态, 每加一粒沙子就会引起沙堆的坍塌.沙堆的坍塌在时间或空间上没有特征尺度, 除了受其自身尺寸的限制外,任何大小的沙堆坍塌都可能出现,它们的发生满足幂律分布.沙堆之间的沙粒虽然只有短程的局域相互作用,却可以引起系统内部的长程相互作用关联. 此时的沙堆便处于自组织临界状态.

室温下金属玻璃的塑性变形主要是通过大量剪切带的运动实现的.这些剪切带的运动在力学响应上表现为间歇性锯齿流变行为,本质上是一种典型的复杂动力学现象.2010年团队从复杂动力学演化方面对非晶合金的锯齿流变行为展开研究,发现韧性非晶合金的剪切带运动可演化到自组织临界状态^[17].通过分析8种不同成分和塑性能力的块体非晶合金的单轴压缩的应力-应变曲线,发现韧性非晶合金 (塑性应变在$\varepsilon _{\rm p}>10%$) 和脆性非晶合金 ($\varepsilon _{\rm p}<5%$) 的锯齿特征明显不同, 如图7所示 (以Vit105和Cu$_{47.5}$Zr$_{47.5}$Al$_{5}$块体非晶合金为例).对锯齿应力降幅的统计分析可以发现,脆性非晶合金的锯齿降幅的柱状分布图接近高斯分布, 如图7(b)所示,说明这些合金的锯齿有一个特征尺度大小;而韧性非晶合金的锯齿柱状分布则呈单调下降的趋势, 如图7(b)所示.通过计算概率密度分布函数$D(s)=(1/N)\cdot (\delta N(s)/\delta s)$对锯齿降幅分布进一步定量分析后,可以发现韧性非晶合金的概率密度分布函数很好地符合幂律分布: $D(s)\sim s^{\alpha }$,如图8所示. 其中$N$为降幅的总体数量, $s$为约化后的锯齿降幅, $\alpha$为幂指数.统计分析发现4种韧性非晶合金均表现出幂律分布规律, 其拟合的$\alpha$值在1.3$\sim$1.5之间.

非晶合金的塑性变形可以看成一个动力学过程,每次锯齿下降可看作是单独的动力学事件,这些事件的幂律分布证明韧性金属玻璃的塑性变形实际上是处于自组织临界状态.每个锯齿应力的下降对应于剪切带的形成和扩展过程,其降幅和剪切带的滑移距离成正比,因此锯齿事件的幂律分布也说明剪切的运动的自组织临界性.对另外4种脆性非晶合金的高斯分布的锯齿进行时间序列分析发现,其锯齿动力学具有混沌的特征,表现为正的李雅谱诺夫谱和一定范围内恒定的相关作用维数^[33].脆性金属玻璃的塑性变形通过主剪切带滑移运动进行, 如图9(a) 所示,此过程中主剪切带中的应变、应力、温度及自由体积都会随着时间变化,这些变量相互影响可能会使其动力学行为演化到混沌状态.而韧性金属玻璃的在受限载荷能够产生多重剪切带, 如图9(b) 所示,剪切带之间交互、阻碍及分枝所形成的剪切带网能够有效耗散外界功和减缓应力集中,产生交大的塑性变形.

在非晶变形过程中所产生的剪切带之间存在着复杂的相互作用,对塑性变形以及自组织临界状态的形成有重要作用.一条剪切带的滑移会引起非晶内部应力的重新分布,从而对其他剪切带的运动行为产生影响. 但由于剪切带产生的随机性和 "二维"特性, 从理论分析上直接求解剪切带之间的相互作用非常困难.由此Sun等^[17]提出了一个简单的多重剪切带滞滑运动模型,可很好描述和解释研究剪切带相互作用对其运动扩展行为的影响.在该模型中, 每个剪切块都可以在单独的弹簧加载下发生滞滑运动,且只形成一个剪切带. 剪切块之间通过耦合弹簧相连,这样每个剪切块滑移都只会对其邻近的剪切带的行为产生影响, 即只有剪切带的短程的的弹性相互作用. 弹簧的劲度为$k$, 耦合弹簧的劲度为$k_{\rm c}$,加载弹簧在恒定的速率下加载, 速度为$v_{0}$, 每个剪切带的垂直滑移位移为$x_{i}$. 剪切带的运动方程可写为

其中左边第1项代表加载应力, 第2项代表近邻剪切带之间的相互作用力, $N $为剪切带的数目. $\sigma _{\rm f}(\dot{x})$为剪切带的内在抵抗力, 取决于和样品成分, 剪切带滑移速度和温度. 对方程组的数值求解, 可发现剪切带运动受相互作用影响在时间和空间上具有协同性, 并组织成一系列不同大小的间歇性出现塑性变形事件, 如图10所示. 对这些锯齿事件进行统计分析发现, 其出现的概率符合标准的幂律分布, 幂指数为 1.42, 与实验得到的幂律指数接近.

实验上可通过对多个非晶样品同时压缩,直接观测剪切带之间的相互作用对锯齿动力学行为的影响.压缩时每个样品都会形成一条主剪切带,而剪切带之间的弹性相互作用通过加载的仪器传递. 实验发现,在引入剪切带相互作用后, 应力-应变曲线上的锯齿行为变得更加复杂.锯齿的统计分析结果和理论数值计算结果符合得很好.这进一步说明剪切带之间的相互作用对韧性非晶合金的自组织临界状态的形成具有重要的作用.剪切带自组织形成的这些标度不变的锯齿事件和地震的发生在运动物理方程和表现形式上都具有相似性,因此韧性非晶合金的剪切带运动可以作为模拟地震发生的一个理想的实验体系.

对于自组织临界状态的动力学系统, 其动力学事件在时间上表现为幂律分布,而在空间上则呈现出具有自相似性的分形结构.分形(fractal)是非整数维形式充填空间的一种几何特征,通常被定义为"一个粗糙或零碎的几何形状, 可以被离散化,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状''. 美籍数学家本华$\cdot$曼德博(法语:Benoit B. Mandelbrot)于1975年首先提出分形(fractal) 的概念^[33],其原意具有不规则、支离破碎等意义. 从整体上看,具有分形特征几何图形是处处不规则的, 但是在不同尺度上,图形的规则性又是相似的, 即自相似性^[34]. 典型分形结构如闪电,山川和海岸线的形貌, 从远距离观测其形状极不规则, 但从近距离观察,其局部形状又和整体形态相似. 分形最重要的特征就是它的分数维,对于一个线性大小为$L$的几何结构, 如果其体积$V(L)$ 满足$V(L)=L^{D}$,则此结构可以看作具有分形特征, $D$为分形的维数, 也被称为Hausdorff维数,$D$一般大于分形所嵌入的空间维数. 在实际应用中, 由于分形结构的形貌复杂,其体积$V(L)$ 很难被精确地测定, 所以一般用其他方法来测定分形的维数.其中比较常见的方法有盒子计数法(counting boxes)和空隙分布统计法 (holedistribution)^[35].

韧性金属玻璃在发生大塑性应变时所产生的多重剪切带, 如图11(a) 所示,分布不均匀且图案比较复杂,Sun等^[36]通过盒子计数法(Box-Counting)和空隙分布统计法(holedistribution)对这些剪切带的分布进行了统计分析,发现这些多重剪带具有分形结构的特征, 其分形维数在1.5$\sim$1.6之间.盒子计数法即用边长为$\Delta x$的小正方形去覆盖剪切带图案(剪切带图像被预先数字化为二进制黑白图, 一条剪切带的至少一个像素点被包括),然后统计这些小正方形的数目$N(\Delta x)$.对图中的剪切带分布进行统计分析后发现, $N(\Delta x)$和$\Delta x$之间关系表现出典型的分形特征如图11(b)所示, $N(\Delta x)\sim \Delta x^{D_{\rm B}}$, 其中盒子维数$D_{\rm B}=1.53$.进一步用空隙分布统计法对图11(a) 中剪切带间的空隙分布进行了统计分析,发现分形之间的空隙分布也很好地符合分形结构特征$N(\lambda>\varLambda)=C\varLambda^{D_{\rm G}}$, 其中分形维数$D_{\rm G}=1.62$,$\varLambda $为空隙的线性大小, $N(\lambda >\varLambda$)为线性大小超过$\varLambda$的空隙的个数, $C$为常数, 取决于该空隙的形状, 分形结构的总面积$A$及指数$D_{\rm G}$. $D_{\rm G}$与盒子统计法中的$D_{\rm B}$接近, 进一步证明剪切带的分布形貌确实具有分形特征.

随着金属玻璃的变形的进行, 剪切带相互交织形成分形结构,在此过程中剪切带交互时的相互作用必定起了重要作用. 剪切带群形貌复杂,且包含剪切数量极多, 因此直接计算剪切带之间的相互作用极其困难.我们通过一种简单而有效的模型分析了剪切带的相互作用在分形结构的形成过程中的影响.一条正常扩展的剪切带, 除了受到一个来自外加载荷的切应力$\tau _{\rm ext}$,还受到一个由剪切带之间的相互作用引起的瞬时切应力$\tau _{\rm int}$,该剪切带受到的有效切应力可表示为$\tau _{\rm eff}=\tau _{\rm ext}+\tau _{\rm int}$.这个瞬时切应力是随时间变化的, 可以看作为叠加在外加切应力上的噪声,对剪切带的应变速率的有微小扰动作用. 对于均匀变形中的金属玻璃,局部剪切应变率$\dot{\gamma}$可以表示为$\dot{\gamma}=\dot{\gamma}_0\exp[-(\Delta G-\tau_{\rm eff}V_{\rm ap})/k_{\rm B}T]$, 其中$\dot{\gamma}_0$为特征应变速率, $\Delta G$为剪切带应变的激活能, $V_{\rm ap}$为该局部区域的激活体积,$k_{\rm B}$为玻耳兹曼常数, $T$为温度. 根据Furutsu-Novikov理论,将剪切带运动类似于位错滑移, 则可得到准静态平衡状态下的瞬时切应力$\langle\tau _{\rm int}\rangle=S\langle\delta\dot{\gamma}^2\rangle/\langle\dot{\gamma}\rangle$,其中$\langle\cdot\rangle$是对时间取平均值, $S=\partial\ln\langle\tau _{\rm eff}\rangle/\partial\ln\langle\dot{\gamma}\rangle$为应变率敏感因子. 可见, 瞬时切应力$\tau _{\rm int}$并不是完全随机的白噪声.一般来说$\tau _{\rm int}$是应变率$\gamma$, 应变率敏感因子$\dot{\gamma}$和随机噪声$\delta w$的函数$\tau_{\rm int}=(\gamma,\dot{\gamma},\delta w)$. 金属玻璃的应变率敏感因子通常都很小, 在此可被忽略. 假设$\tau _{\rm int}$只是应变率和随机噪声的线性函数: $\tau _{\rm int}=A\gamma+B\delta w$. 其中$A$和$B$为比重因子. 把$\tau _{\rm int}$代入局部剪切应变率方程, 进行泰勒展开并保留线性项可得

式中, $R=\dot{\gamma}_0\exp[-(\Delta G-\tau_{\rm ext}V_{\rm ap})/k_{\rm B}T]$是稳态应力引起的恒定应变率. 式 (4) 是典型的Langevin公式,通过求解其对应的Fokker-Planke公式可得稳态应变率$\gamma$的概率分布函数

式中, $\sigma_1=Ak_{\rm B}T/RV_{\rm ap}B^2$, $\sigma_2=(k_{\rm B}T)^2/RB^2V_{\rm ap}^2$, $N$为归一化常数, 假设剪切带之间的间距为$\varLambda $.研究实验发现剪切带之间的平均间距和塑性应变成反比^[37],据此可假设在样品的局部区域$\varLambda\sim\gamma^{-1}$, 由$p(\varLambda){\rm d}\varLambda=p(\gamma){\rm d}\gamma$可得, 剪切带间距分布函数$p_{\rm s}(\varLambda)$

$\sigma _1, \sigma _2$, 取不同值时的$p_s (\varLambda)$的形状如图12(b) 所示, 可以看出随着剪切带间距的增大,$p_s (\varLambda)$呈单调下降的趋势. 当$\varLambda\to 0$时, 有$p_s (\varLambda)=\varLambda^{-(1+\sigma_1)}$, 此时累积概率分布函数$N(\lambda>\varLambda)\sim\varLambda^{-\sigma_1}$, 表现出典型的分形特征,其分形维数为$\sigma_1$, 同时也证明剪切带群是一种分形结构. 根据$\sigma_1$的表达式,其大小与比重因子$A$, $B$的值相关, 即与剪切带相互作用力大小密切相关, 进一步说明剪切带之间的相互作用在剪切带分形结构的形成中起了非常重要的作用.

综上所述, 非晶合金剪切带具有高度时空不均匀性, 是一种高度局域化的塑性变形.其运动具有时间上的不连续特征, 表现出间歇性锯齿流变行为.锯齿流变行为起源于剪切带的滞滑运动,是剪切带在运动过程中的一种本征的动力学不稳定性.锯齿流变行为对剪切带的研究具有重要价值,通过锯齿流变行为可以间接地探索剪切带的运动,剪切带运动和外加条件的耦合联系以及剪切带的内在性质.剪切带之间存在复杂的相互作用, 使其整体表现有自组织临界行为,形貌具有分形特征, 和自然界很多复杂的动力学系统行为相似.

经过科研人员几十年的努力,虽然在非晶合金的剪切带运动在理论和实验研究上取得了很大的进步,但仍许多问题需要研究:(1)非晶合金锯齿流变过程中剪切带的动态性质如速度、温度如何演化以及失稳的问题,该问题对理解非晶合金的塑性和断裂非常重要;(2)各种因素对非晶合金剪切带自组织临界行为影响的具体机制以及自组织临界行为向混沌行为转变的问题;(3)剪切带的内部结构, 性质及其起源的微观机制;这些问题的解决将有助于建立统一非晶合金剪切带运动理论,对高性能非晶合金的设计和开发也有重要的指导意义.