湍流/非湍流界面指的是流场中湍流区域和包围湍流的无旋流动区域的边界,其广泛存在于射流、尾流、混合层、湍流边界层等湍流流动中.在穿过这一层很薄的湍流/非湍流界面中, 包含了多尺度的复杂结构,在无旋流和湍流之间的物质、动量和能量交换中起到主导作用,因此对界面特性的研究有助于对湍流发展过程的理解和预测.针对湍流/非湍流界面的研究主要集中在界面的几何特性^[1-4]和动力学特性^[2,5-7]两方面.

界面的几何特征主要包括界面的高度分布、沿垂向间歇因子分布及界面的分形维度等.Corrsin和Kisteler^[8]指出, 间歇因子分布的导数就是界面高度的概率密度分布,因此这两个分布密切相关. Borrell和Jiménez^[3]的研究指出,界面高度的分布受到识别界面时阈值选取的影响.由于越靠近壁面无论是涡量还是湍动能都会增大,因此常用的涡量阈值或是湍动能阈值方法, 所得界面平均位置都会随阈值增大而降低.De Silva等^[1]研究了界面的分形维度,发现在高雷诺数的情况下分形维度$D_{f}\approx 2.3$,且受雷诺数、界面识别的阈值选取影响较小. Wu等^[4]得到$D_{f} = 2.22$比DeSilva的结果略小. 张爽和时钟^[9]的研究也表明随着湍流强度的减弱,界面形状会更加平滑, 分形维度也相应地减小.

对于界面的动力学特征,研究包括流场中穿过界面或在界面附近的速度、涡量等物理量的相关特性.Corrsin和Kisteler^[8]最早发现, 穿过界面的速度大小存在一个阶跃变化.湍流/非湍流界面简单的说是湍流与非湍流的分界面,但这不是一个严格的空间曲面界限, 而是一个很薄的空间范围,Bisset等^[5]对平板远场尾流的研究表明速度和展向涡量在界面附近的跳变集中在尾流宽度10%的范围以内.Chauhan等^[2]在其研究中采用了流向速度跳变量与当地的流向速度梯度之比作为湍流/非湍流界面厚度的定义,发现流向速度、展向涡量及雷诺应力均在界面厚度范围内发生跳变.

相对于光滑平板湍流边界层湍流/非湍流界面特性的研究,对非光滑壁面、特别是具有重要应用前景的减阻沟槽表面湍流边界层湍流/非湍流界面特性的研究工作相对较少,对其界面湍流扩散的影响亦缺乏了解. 众所周知,顺流向的沟槽表面在适当的条件下通过改变近壁面流动结构降低了壁面摩擦阻力^[10-17].Bechert等^[18]研究发现在沟槽内尺度无量纲间距$s^{+}$为15 $\sim$ 20, 深宽比$h$/$s$为0.5 $\sim$ 0.8时最大减阻率可达10%左右.杨绍琼等^[19]及袁一平等^[20]也在相近的尺度范围内得到了最佳的沟槽减阻效果.Koeltzsch等^[21]发现发散-汇聚型沟槽在特定情况下也能够减小阻力的现象引发了很多关注.崔光耀等^[22]通过研究发现发散型沟槽能够减阻的原因主要是沟槽引起局部顺向涡的减少.Kevin等^[23]在汇聚-发散型沟槽壁面上流动的研究中发现壁面加强了湍流/非湍流的掺混程度,发散型沟槽表面上湍流区域中的非湍流块出现的概率是光滑壁面和汇聚型沟槽壁面的两倍.Wu等^[4]指出汇聚型和发散型沟槽分别具有增阻和减阻的作用,而对应的湍流/非湍流界面高度概率密度分布相对于正态分布分别存在正的和负的偏度.

本实验主要采用时间解析的二维粒子图像测速技术(PIV)对光滑和顺流向沟槽平板湍流边界层流场进行测量,研究低雷诺数沟槽表面对湍流边界层湍流/非湍流界面的影响. 本文第1节为实验仪器设备、实验模型、实验参数的介绍,第2节对测量所得流场进行分析, 主要包括湍流边界层摩擦速度的确定、湍流/非湍流界面识别、界面的几何特征和动力学特征,第3节为论文的结论.

本实验在北京航空航天大学的低速回流式水槽中进行,水槽实验段的侧壁和底壁均由光滑的有机玻璃制成. 实验段几何尺寸为3 m $\times$ 60 cm $\times$ 70 cm (长 $\times$ 宽 $\times$ 深), 实验采用的模型为光滑平板、精细的顺流向沟槽平板, 模型尺寸均为长2.4 m, 宽60 cm,平铺在水槽实验段中.

图1给出了沟槽模型的示意图, 沟槽截面形状为锯齿形,其齿间距为$s$, 沟槽深度为$h$, 顶角为$\alpha $. 由于数据来自两次实验,具体参数稍有不同, 详情可见表1. 齿根部位以小圆弧过度, 以便给铣刀加工留够空间.实验模型前端加装坡度比1:10的与平板宽度、厚度相同的斜劈, 用以避免来流在模型的钝体前缘发生分离.模型平板前端还放置了直径3 mm的拌线用来加速流动转捩, 以保证下游实验数据采集区域处于充分发展的湍流状态.本文中实验坐标系的$x$, $y$, $z$轴分别对应流向、垂向和展向方向, 对应的流速分别用$u$, $v$, $w$表示. 对于光滑壁面和沟槽壁面的模型, 坐标$y$轴的原点分别建立在光滑壁面的表平面和沟槽壁面齿顶所在平面上.

本实验采用PIV技术对不同雷诺数下光滑、沟槽平板湍流边界层进行测量, 通过改变来流速度$U_{\infty } $来使得雷诺数$Re_{\tau } $在400 $\sim$ 1000范围变化. 实验中采用连续激光照亮示踪粒子, 激光片光厚度约为1 mm.示踪粒子采用的是直径为5 $\sim$ 20 $\mu$m的空心玻璃珠,密度为1.05 g/cm$^{3}$. 拍摄视野的中心位于从斜劈前端算起的下游2 m处,激光平面垂直于模型表面并平行于来流方向, 即位于$Oxy$平面内.激光平面位于水槽的中心对称面上, 距离水槽侧壁有足够的距离(30 cm),因此可以忽略侧壁边界的影响^[4]. 采用CMOS相机采集粒子图像,相机的像素为2048 $\times$ 2048, 测量视野的大小为120 mm $\times$ 120 mm, 因此空间分辨率约为每像素0.059 mm. 实验中根据来流速度的变化,采用了不同的采样频率$f_{s}$ (表1), 以尽量保证相邻两幅粒子图像中最大的粒子位移约为8 $\sim$ 12个像素.由于CMOS相机内存的限制, 单次采样连续采样时间受限, 因此每个工况重复采样5次,以保证统计数据收敛. 速度场计算采用了MILK算法^[24-25],查询窗口大小为32 $\times$ 32像素, 重叠率为75%.

本实验中无法直接测量模型壁面某处的摩擦阻力,因此采用Clauser^[26]的方法拟合摩擦速度$u_{\tau } $,以此衡量模型表面阻力大小. 然而对于沟槽表面来说,一般认为其理论零点会低于沟槽齿顶平面, 传统的Clauser拟合方法失效了.针对这一问题人们常采用修正的Clauser方法: 对于沟槽表面的速度型在对数区满足

式中, $\hat{{y}}$为理论法向高度, 可以看作测量点物理坐标与由沟槽引起的零点偏移量$y_{v}$之和, 即$\hat{{y}}=y + y_{v}$. $\kappa $为卡门常数, 本文中取$\kappa =0.41$, $B$为对数律截距,本文中取$B = 5.0$, $\Delta U^{+}$为沟槽表面对数速度分布相对于光滑表面的偏移量.将式(1)等号两边对$y$进行微分可得

通过迭代计算可以同时得到摩擦速度$u_{\tau } $和理论零点$y_{v}$的值.本文也采用了Choi^[27]研究中采用的方法,他认为无论平板表面是何种类型的粗糙, 以${{yu_{\tau } }/{\delta^{\ast}}}U_{\infty } $来表示的无量纲高度在0.002 $\sim$ 0.15范围时,无量纲速度亏损${{(U_{\infty } -u)}/{u_{\tau }}}$在粗糙表面上的分布应与其在光滑表面上的分布相吻合.根据实验数据得出$Re_{\tau } \approx 1000$的拟合结果如图2(b)所示,其中$y_{v}= 0.8$ mm, $u_{\tau } = 16.0$ mm/s. 这两种方法本质上都假设沟槽表面上的速度同样服从对数分布,修正的Clauser方法在低雷诺数下使用时常遇到多解的问题,此时可与Choi方法结合使用, 相互印证, 提高结果准确性. 本文中为表述方便,图片及下文中均直接用符号$y$来表示理论法向高度$\hat{{y}}$.

通过与Bechert等^[18]研究中沟槽减阻效果比较, 可以确定摩擦速度$u_{\tau }$结果的合理性, 如图3所示. 其中, $\Delta \tau$是沟槽表面和光滑表面摩阻应力之差, 负值表示沟槽表面相对于光滑表面有减阻效果,正值则表示阻力增大的情况. $\tau_{s}$是光滑表面上的摩阻应力,由于$\tau =\rho u_{\tau }^{2} $, 因此在得到$u_{\tau } $后就可以算出.本实验中改变雷诺数进而影响了无量纲间距$s^{+}$, 使得沟槽表面分别出现了阻力增大、减小的情况. 从图3可以看出,本文的实验结果与Bechert等^[18]直接改变沟槽几何尺寸得到结果的变化规律相吻合.

湍流/非湍流界面通常采用流场中某个物理量的大小作为一个阈值来提取其等值面作为界面,例如采用速度大小、涡量大小, 或者PIV中粒子浓度的等值面等方法.在直接数值模拟中,由于可以采用空间分辨率较高的网格且湍流度可以控制得非常低, 以及没有背景噪声,涡量的计算相对准确, 人们常采用涡量阈值判则识别湍流/非湍流界面. 在实验研究中,往往很难到达精确计算涡量场的空间分辨率及消除背景噪声,因此Chauhan等^[2]提出的湍动能阈值判则更为实用. 他们把局部湍动能定义为

式中, $u$, $v$分别为流向、垂向速度分量, 并将所求点周围3 $\times$ 3网格点上湍流能的平均值作为该点的湍动能值, 最后以$U_{\infty }^{2}$来无量纲化并乘以100, 这样, 当测量点位于湍流/非湍流界面以外时,$\tilde{k}$的值会非常接近当地的湍流度, 而随着测量点逐渐靠近壁面, $\tilde{k}$的值总体上会逐渐增大.取一个$\tilde{{k}}$值的作为阈值$\tilde{{k}}_{th} $,湍动能场中这个阈值对应的等值线就是要找的湍流/非湍流界面.

Chauhan等^[2]给出了阈值选取的条件:(1)湍流边界层间歇因子的分布应该服从高斯误差函数,(2)界面高度$y_{i}$的均值$Y_{i}$和标准差$\sigma_{i} $满足$Y_{i}+3\sigma_{i} \approx \delta $, 其中$\delta $是边界层厚度.这两个条件一般也可等价为界面高度的概率密度($p.d.f.)$服从正态分布, 一般而言,这里的界面高度仅统计主界面, 即最长的连续界面曲线.图4给出了本实验中$Re_{\tau} = 1011$、湍动能阈值$\tilde{{k}}_{th} = 0.21$所得结果, 其中图4(a)黑色实线即为湍流/非湍流主界面位置轮廓线,图4(b)所示为界面高度概率密度分布, 可见其满足正态分布,符合Chauhan等^[2]给出的阈值选取条件.

本实验中所得界面分布的统计平均高度${{Y_{i} }/{\delta_{99}}}$如图5所示, 其中数据点上竖线的长度表示了该雷诺数下界面高度标准差${{\sigma_{i} }/{\delta_{99} }}$的大小. 与Wu等^[4]、Corrsin和Kistler^[8]及Eisma等^[28]的结果相比,界面的无量纲平均高度与标准差是相近的. 可以看到, 界面高度$Y_{i}$约为(0.8 $\sim$ 0.9)$\delta_{99}$且受雷诺数及壁面条件的影响均不大,沟槽壁面使得界面高度的标准差大于光滑壁面的情况, 而$Y_{i} +\sigma_{i} $基本保持在$\delta_{99}$附近.图6中将沟槽壁面湍流边界层湍流/非湍流界面高度的概率密度分布与同来流速度光滑壁面上界面高度服从的正态分布(黑色虚线)进行了对比.可以明显看到, 在本实验条件下, 在$Re_{\tau,riblets} = 996$时, 界面高度分布呈现正的偏度, 对应的壁面摩阻增大了1.3%,这与Wu等^[4]得到的汇聚型沟槽壁面造成摩擦阻力增大的情况下, 湍流/非湍流界面会相应地呈现出正偏度的结果是一致的.

在识别出湍流/非湍流界面所在位置之后, 可以把流场以界面为界进行二值化,界面及界面以下的区域置为1, 界面以上的区域置为0,这样对流场在同一垂向高度进行系综平均,就能够得到任意流向位置的沿垂向分布的间歇因子$\gamma $, 如图7所示. 可以看到,光滑壁面条件下的间歇因子分布很好地服从误差函数,也印证前面提到的其界面高度分布服从正态分布的结果,即实质上对间歇因子分布的微分即可求得界面高度的概率密度分布.当沟槽壁面上界面高度分布的标准差相比光滑壁面上的大得多时,其间歇因子变化也相对更加平缓(图7(b)和图7(c)). $\gamma =0.5$的位置表示湍流和非湍流出现概率相等的位置,对于界面高度服从正态分布的光滑壁面流动来说$\gamma =0.5$的高度理论上就是界面平均高度, 因此这里插值得到的$\gamma =0.5$的高度与直接对界面高度求得的平均值相当接近.

Mandelbrot^[29]首次猜测在高雷诺数下湍流中应该存在分形特征,而随后被Sreenivasan等^[30]首次在湍流/非湍流界面中发现.Prasad和Sreenivasan^[31]采取了一种盒计数算法来衡量湍流/非湍流界面的分形维度:将二维流场分割为边长为${b/\delta }$的方形格子,并记录将界面曲线完全包纳进去的所需的最少格子数量$N(b)$,改变方格边长$b$并重复上述操作, 最后将不同帧所得结果求平均,就得到了包纳最少格数$N$与方格边长$b$的关系, 在一定的范围内,格子边长$b$和最少格数$N$应该满足$N\propto ({b/\delta })^{-D}$,根据Mandelbrot和Wheeler^[32]提出的共维准则(the co-dimension rule),三维分形维度$D_{f}= D + 1$.

图8(a)中在对数坐标下绘制了$Re_{\tau ,{smooth}} = 533$ ($Re_{\tau,{riblets}} = 447$)时的${b/\delta }_{99} $ $\sim$ $N$的关系曲线, 由于其满足指数型正相关, 因此在虚线之间的范围内(${b/\delta }_{99}= 0.04$ $\sim$ 0.3)其关系近似一条直线, 直线的斜率就是指数的幂,即$-D$.图8(b)绘制了不同壁面下湍流/非湍流界面分形维度随雷诺数的变化, 图中还包括了Wu等^[4]的结果.按照雷诺相似性假设和小尺度结构为Kolmogorov尺度来预测可得分形维度$D_{f} = 2+ 1/3$. Breda和Buxton^[34]认为界面分形维度与小尺度结构相关, 当小尺度结构不为Kolmogorov尺度时分形维度不一定为2.3左右. 可以看出, 在$Re_{\tau } $小于1000范围内, $D_{f}$呈增长趋势, 界面的多尺度结构还没有充分发展. 结合De Silva等^[1]的结果, 可以推断湍流/非湍流界面分形维度约在$Re_{\tau } $大于2000以后趋于$D_{f}=2.3$.

为了明显地显示发生在湍流/非湍流界面附近的速度、涡量跳变,人们常常采用条件平均的方法进行分析: 在某一时刻某一流向位置上,在界面所在高度位置建立一个新的坐标系, 其原点落在界面曲线上,坐标轴与$x$, $y$轴分别平行, 然后采集新坐标系下原点附近沿着$y$轴分布的速度矢量,作为一组速度样本. 遍历每个时刻每个流向位置, 将所得的所有速度样本整合在一起求系综平均, 就得到了条件平均速度$U_{c} $.由于界面具有分形特征, 界面曲线在流场中蜿蜒伸展,在同一时刻同一流向位置下可能会出现多个界面高度(参见图4(a)), 针对这种情况,采用了仅取最低的界面位置建立新坐标系的方式, 以保证在新的坐标中,垂向坐标的负半轴区域始终表示的是湍流区域^[2,4].图9给出了不同条件下的条件平均流向速度型, 在${{(y-y_{i} )}/{\delta_{99} }}=\pm 0.1$以外的区域, 流向速度梯度基本已经趋近于近似线性分布,湍流/非湍流界面以外接近势流区(${{(y-y_{i} )}/{\delta_{99} }}>0.1)$,流向速度梯度非常小, 界面以内处于湍流区(${{(y-y_{i} )}/{\delta_{99}}}<-0.1)$, 流向速度梯度相对大一些, 并且在界面附近位置, 流向速度梯度最大,即速度发生跳变. 沟槽壁面使得界面处条件平均流向速度会有所不同,顺流向沟槽壁面的影响主要集中在界面附近及界面以内而很难影响到界面以外的区域.

采用Chauhan等^[2]的方法来估量名义界面厚度:先以远离界面位置近似线性的速度型的线性拟合与${{(y-y_{i} )}/{\delta_{99} }}=0$轴的交点之距离作为速度跳变量$\Delta U_{c} $,然后以速度跳变$\Delta U_{c}$与速度最大梯度之比作为名义界面厚度$\delta_{\omega } $, 即

图10给出了条件平均流向速度跳变及最大速度梯度随雷诺数的变化.Chauhan等^[7]的研究表明${{\Delta U_{c} }/{u_{\tau }}}$约为1.15而不随雷诺数变化($Re_{\tau } \geqslant 2790)$.而本文的结果显示在雷诺数较小时, 无量纲速度跳变存在随着雷诺数的增大而增大的趋势.条件平均的无量纲流向速度的最大梯度在雷诺数较小时近似为16 (如图10(b)所示),但壁面形状的影响不明显. 相应的无量纲界面厚度(如图11(a)和图11(b)所示)存在一个极大值,该极值点受沟槽影响会略小于光滑壁面的情况.

图12绘制了条件平均的展向涡量分布,这里采用了简化的近似计算^[2], 由于垂向速度的梯度${{\partial v}/{\partial x}}$相对于流向速度的梯度${{\partial u}/{\partial y}}$小很多,在计算涡量时可以忽略不计, 因此这里条件平均展向涡量$\omega_{z} ={{\partial U_{c} }/{\partial y}}$,因此图12中无量纲涡量的峰值与图10(b)中条件平均流向速度最大梯度相应, 从图12也可以看出, 当雷诺数较小时, 其条件平均展向涡量分布是相似的.图中${{(y-y_{i} )}/{\delta_{\omega }}}=0$处的点画线对应条件平均坐标系下的界面位置,上下两条虚线分别位于${{(y-y_{i} )}/{\delta_{\omega } }}=\pm0.5$的位置, 虚线包含的区域则是1倍的界面厚度范围.无论是何种壁面条件、何种雷诺数,条件平均展向涡量的跳变基本都发生在1倍界面厚度$\delta_{\omega } $之内.远离界面位置向外, 涡量逐渐减少并趋近于0, 与外区流动基本为势流相适应,远离界面位置向内, 涡量先减少后增加, 越靠近壁面流动剪切越强, 展向涡量也越大.

本实验采用二维粒子图像测速技术技术对光滑、顺流向锯齿形沟槽表面湍流边界层流动在不同雷诺数下进行了测量,并着重研究和分析了雷诺数$Re_{\tau } $约为400 $\sim$ 1000时通过湍动能方法识别的湍流/非湍流界面的几何特性和动力学特性,主要的结论如下:

(1)湍流/非湍流界面的平均高度基本在(0.8 $\sim$ 0.9)$\delta_{99}$附近.截面为锯齿状的顺流向沟槽壁面在影响摩阻特性的同时影响了界面高度的概率密度分布,阻力增大的条件下界面高度的概率密度分布存在正的偏度,而在减阻情况范围时则基本呈正态分布. 在雷诺数$Re_{\tau } $小于1000的情况下,湍流/非湍流界面的分形维度会随着雷诺数的增大而增大, 而壁面条件影响不明显.

(2)跨越湍流/非湍流界面的无量纲速度跳变随雷诺数增大而增大的趋势,但壁面形状的影响不明显. 在本实验雷诺数条件下,无量纲界面厚度随雷诺数的变化存在一个极大值, 沟槽影响有降低该极值的趋势.此外, 界面附近条件平均涡量分布具有相似性, 受壁面形状和雷诺数影响很小.顺流向沟槽的壁面对于跨界面的速度跳变, 条件平均涡量没有显著的影响.