互逆规划的拓宽和深化及其在结构拓扑优化的应用1)

图1 G 与 H 函数关系

Fig. 1 Relationship between G and H function

为了从直观上把握互逆规划,从 3 个方面进行如下讨论.

(1) FP 问题的几何意义

先考虑更一般的情况

(29)$ {FP}: \ \left\{ \!\!\begin{array}{l} \min : \ H = x_1^2 - 6x_1 + x_2^2 - 4x_2 \\ {s.t.} \ G = x_1 + x_2 \leqslant 4 \end{array} \right.$

单约束问题若不退化为无约束问题,约束必定取等式. 按 KKT 条件叙述,即 Lagrange 乘子必不为 0,而为正数.因此,式 (29) 是式 (24a) 的更一般情况.

目标函数是由大圆向圆心下降的等值圆族,这个结论可以由式 (29) 的目标函数负梯度的指向得出,也可以从点 (3,0), (2.5, 1.5) 和 (3, 2) 目标函数值 $-9$, $-12.5$ 和 $-13$ 看到,它们分别是棕色圆、紫色圆和圆心的目标值.

可行域是绿色直线斜下方区域.

最优点是在紫色圆与绿色直线的相切点,最优目标值等于 $-12.5$. 想象在设计变量-目标函数的里,目标函数构成了一个倒置的旋转面,旋转面的锥点高度为 $-13$,在高度为 $-12.5$ 处的旋转面的水平截线圆上一点,有一直线过该点,而这个直线的投影与过 (4, 4) 点,该直线就是可行域的边线.

顺便指出：式 (29) 的半无穷大可行域退化式 (24a) 等式表示的直线.

(2) RP 问题的几何意义

同上,先考虑比式 (24b) 更一般的情况

(30)$ {RP}: \ \left\{ \!\!\begin{array}{l} \min : \ G = x_1 + x_2 \\ {s.t.} \ H = x_1^2 - 6x_1 + x_2^2 - 4x_2 \leqslant - 12.5 \end{array} \right.$

图2

图2 FP 问题的几何直观

Fig. 2 Geometry of the FP program

目标函数等值线是由与绿色直线平行的直线族组成,垂直于平行直线向左下方下降;可行域是包括紫色圆边线的圆区域.

最优点是在紫色圆与绿色直线的相切点,最优目标值等于 4.

在设计变量-目标函数的里,目标函数等值线构成了过 (0,0,0), (4,0,4) 和 (0,4,4) 三个点的无限大的平面.

图3

图3 RP 问题的几何直观

Fig. 3 Geometry of the RP program

顺便指出：式 (29) 的圆面积可行域退化式 (24b) 等式表示的圆周线可行域.

(3) 参数变动导致结果改变的几何背景

当 $H^\ast = - 12.5$ 时,求解式 (24b),可以得到如下结论:

① 若 $\bar {H} > H^\ast$,求解 RF 得到的 $G^\ast < 4$;

② 若 $\bar {H} = H^\ast$,求解 RF 得到的 $G^\ast = 4$;

③ 若 $\bar {H} < H^\ast$,求解 RF 得到的 $G^\ast > 4$.

该结论可如下推证. 取 $R$ 为圆心坐标为 (3, 2) 的圆的半径,令

$ x_1^2 - 6x_1 + x_2^2 - 4x_2 - \bar {H} = (x_1 - 3)^2 + (x_2 - 2)^2 - R^2 $

解得

$ \bar {H} - H^\ast = R^2 - (H^\ast + 13) $

于是,得到下面 3 种情况：

① 若 $\bar {H} > H^\ast$,则 $R^2 > H^\ast + 13$,该圆跨过了直线 $x_1 + x_2 =4$,求解 RF 得到的 $G^\ast < 4$;

② 若 $\bar {H} = H^\ast$,则 $R^2 = H^\ast + 13$,该圆相切于直线 $x_1 + x_2 =4$,求解 RF 得到的 $G^\ast = 4$;

③ 若 $\bar {H} < H^\ast$,则 $R^2 < H^\ast + 13$,该圆在直线 $x_1 + x_2 =4$ 的上方,求解 RF 得到的 $G^\ast > 4$.

4.2 算例 2: 简单的 m-s 型数学规划问题

(31a)${FP}: \ \left\{ \!\!\begin{array}{l} \min : \ H = x_1^2 + x_2^2 \\ {s.t.} \ G_1 = - x_1 - 2x_2 \leqslant - 3 \\ \quad G_2 = - 2x_1 - x_2 \leqslant - 3 \end{array} \right.$

(31b)${RP}: \ \left\{ \!\!\begin{array}{l} \min : \ G_1 = - x_1 - 2x_2 \\ {min}: \ G_2 = - 2x_1 - x_2 \\ {s.t.} \ x_1^2 + x_2^2 \leqslant \bar {H} \end{array} \right.$

为求解 FP,构造 Lagrange 函数

(32)$ L(x_1 ,x_2 ,\lambda ) = (x_1^2 + x_2^2 )+\\ \lambda _1 ( - x_1 - 2x_2 + 3) + \lambda _2 ( - 2x_1 - x_2 + 3) $

得到 KKT 条件

(33)$ \left.\begin{array}{l} \dfrac{\partial L}{\partial x_1 } = 2x_1 - \lambda _1 - 2\lambda _2 = 0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial x_2 } = 2x_2 - 2\lambda _1 - \lambda _2 = 0 \\ - x_1 - 2x_2 + 3 \leqslant 0 \\ - 2x_1 - x_2 + 3 \leqslant 0 \\ \lambda _1 ( - x_1 - 2x_2 + 3) = 0 \\ \lambda _2 ( - 2x_1 - x_2 + 3) = 0 \\ \lambda _1 \geqslant 0 \\ \lambda _2 \geqslant 0 \end{array} \right\}$

解出：$x_1^\ast = 1$,$x_2^\ast = 1$,$\lambda _1^\ast = 2 / 3$,$\lambda _2^\ast = 2 / 3$,$H^\ast = 2$.

图4

图4 FP 问题的目标函数及可行域

Fig. 4 Objective function and feasible region of the FP program

根据定理 2,取 Lagrange 乘子向量 $[\lambda _1^\ast$, $\lambda _2^\ast ] = [2 /3, 2 / 3]$ 作为 RF 模型的多目标权系数,进行归一化,得 $[w_1, w_2] =[0.5, 0.5]$,并取 $\overline H = H^\ast = 2$ 由此得到 RF 模型为

(34)$ \left.\begin{array}{l} \min : \ G = 0.5( - x_1 - 2x_2 ) + 0.5( - 2x_1 - x_2 ) =\\ - 1.5(x_1 + x_2 ) \\ {s.t.} \ H = x_1^2 + x_2^2 \leqslant 2 \end{array} \right \}$

因式 (28) 中仅一个约束,也可以按等式约束处理. 为了求解 FP,构造 Lagrange 函数

(35)$ \hat {L}(x_1 ,x_2 ,\beta ) = - 1.5(x_1 + x_2 ) + \beta [(x_1^2 + x_2^2 ) - 2]$

得到 KKT 条件

(36)$ \left.\begin{array}{l} \dfrac{\partial \hat {L}}{\partial x_1 } = - 1.5 + 2\beta x_1 = 0 \\ \dfrac{\partial \hat {L}}{\partial x_2 } = - 1.5 + 2\beta x_2 = 0 \\ \dfrac{\partial \hat {L}}{\partial \beta } = x_1^2 + x_2^2 - 2 = 0 \\ \beta (x_1^2 + x_2^2 - 2) = 0 \\ \beta \geqslant 0 \end{array} \!\! \right \}$

解出 $x_1^\ast = 1$,$x_2^\ast = 1$,$\beta ^\ast = 3 / 4$,$G^\ast = - 3$.

为了方便比较结果,图5 中画了式 (31b) 中的两个目标函数 $G_{1}$ 及 $G_{2}$ 最优点对应的直线线,它们对应的目标函数最优值分别为 $G_1^\ast= - 3$ 及 $G_2^\ast = - 3$. 还画了 $[w_1 ,w_2 ] = [0.1,0.9]$ 情况下最优点 (1.25,0.66) 对应的直线,其对应的目标函数最优值为 $G^\ast = - 3.036$.它们的最优点与式 (28) 的最优点在图5 上以 2 个黑点表示.

图5

图5 RP 问题的目标函数及可行域

Fig. 5 Objective function and feasible region of the RP program

4.3 算例 3: 单工况 MBB 梁问题拓扑优化

材料弹性模量 $E =2.1 \times 10^{5}$ MPa,泊松比为 0.3. 基结构宽为 300 mm、高 50 mm,取一半结构进行分析,左、右下角分别为铰支和滑动铰支约束,计算简图如图6 所示,采用 150$\times $50 网格.一个集中载荷 200 N 载荷工况,作用于跨中顶点,为避免应力集中,$F=100$ N 分散作用在相邻的 4 个结点上,右下角竖向约束也分散在 2 个结点上. 过滤半径为 3 mm,收敛精度取 0.001. 为了进行结果的比较,涉及到 MCVC 模型,惩罚因子取 $p=3$, 分别采用 20% 与 60% 的体积比约束值,进行两种情况的计算;涉及到 MVCC 模型,采用许用应力 $[\sigma ] =125$ MPa,对应的结构应变能约束值为 $\overline C = 10.012$ N$\cdot$mm^[26]. 此例计算按如下 3 步进行.

图6

图6 MBB 梁问题取一半结构进行分析及优化的模型

Fig. 6 Half of structure for analysis and optimization of the MBB beam

其一,MCVC 模型计算.

分别采用 20% 和 60% 的体积比约束值,最优拓扑图如图7 所示. 体积比约束 20% 时,最大应力 148.71 MPa,最优柔顺度 13.242 N$\cdot$mm;体积比约束 60% 时,最大应力 77.60 MPa,最优柔顺度 3.889 N$\cdot$mm.

图7

图7 MCVC 模型得到的最优拓扑

Fig. 7 Optimized topology obtained by the MCVC model

可以看到 MCVC 模型对不同的体积比约束值,不仅各自对应的最大 Mises 应力不同,而且更重要的是二者最优拓扑构型也不一样. 拓扑构型的不同与最大应力的差别皆源于体积比约束值各异. 究竟如何做,才能避免难以选取适当体积比约束值的困扰?为此,进行第二步计算.

其二,MVCC 模型计算.

以体积极小为目标、全局应变能约束计算所得最优拓扑如图8(a) 所示. 对应的 Mises 应力分布如图8(b) 所示. 最优体积比为 23.88%. 最大应力为 125.07 MPa,满足应力约束条件^[26]. 为了便于第三步的数值比较,算出最优点处结构柔顺度为 $\overline C = 10.012$ N$\cdot$mm.

图8

图8 MVCC 模型得到的结果

Fig. 8 The results obtained by the MVCC model

其三,MCVC 模型再计算.

依据定理 1,将 MVCC 模型得到的最优体积比 23.88%,作为修正的 MCVC 模型的体积约束,再计算得到最优点结构柔顺度 $\overline C =10.121$ N$\cdot$mm,最优拓扑与 Mises 应力分布如图9 所示,最大应力为 124.75 MPa.

图9

图9 体积比 23.88% 时 MCVC 模型得到的结果

Fig. 9 The results obtained by the MCVC model with 23.88% volume ratio constraint

计算结果的拓扑构型、最大应力和结构柔顺度,都接近 MVCC 模型得到的结果. 以上三步计算,从 MVCC 模型--MVCC 模型--MCVC 模型,恰似一个否定之否定的过程.这个过程与依据"以往 MCVC 模型"求解的不同,在于"新 MCVC 模型"插入了上述的第二步.可见,依据 MVCC 模型可以确定 MCVC 模型一个恰当的体积比约束值.也就是说,经过定理 1 的改造,不合理的模型求出了合理的结果. 可见,这是本文对于 MCVC 模型求解的一个贡献.

4.4 算例 4: 多工况正方形平板问题拓扑优化

材料弹性模量 $E =2.1 \times 10^{5}$ MPa,泊松比为 0.3. 基结构宽为 100 mm、高 50 mm,结构左边为固定约束,计算简图如图10 所示,采用 100 $\times $ 50 网格. 工况 1 为一集中载荷 $F_{1}=200$ N 竖直向上作用于上边中点,工况 2 为一集中载荷 $F_{2} =150$ N 竖直向上作用于上边右角,为避免应力集中,$F_{1}$ 分散作用在相邻的 4 个结点上,$F_{2}$ 分散作用在相邻的 3 个结点上.过滤半径为 3 mm,收敛精度取 0.001. 为了进行结果的比较,涉及到 MCVC 模型,惩罚因子取 $p=3$;涉及到 MVCC 模型,采用许用应力 $[\sigma ] =125$ MPa,对应于两个工况的结构应变能约束值为 $\overline {C_1} =3.841 4$ N$\cdot$mm 和 $\overline {C_2}= 7.412 3$ N$\cdot$mm^[26]. 此例计算按如下三步进行.

图10

图10 正方形平板拓扑优化问题模型

Fig. 10 Definition of the topology optimization problem of a square plate

其一,MCVC 模型计算.

MCVC 模型因工况不同产生的多目标,其加权系数按载荷大小的比值 4:3 计算,得到归一化的权系数 $w_1 =0.571 4$ 和 $w_2 = 0.428 6$,分别计算 20% 和 60% 的体积比约束值两种情况. 体积比约束 20% 时,两工况下最大应力分别为 $\sigma _1^\ast =163.34$ MPa 和 $\sigma _2^\ast = 195.40$ MPa,均不满足应力约束条件. 最优点处结构柔顺度为 $C_1^\ast = 5.902 6$ N$\cdot$mm 和 $C_2^\ast = 18.688 5 $N$\cdot$mm.体积比约束 60% 时,两工况下最大应力分别为 $\sigma _1^\ast = 56.39$ MPa 和 $\sigma _2^\ast =80.58$ MPa,均比应力约束值小很多,未能充分发挥材料的强度性能. 最优点处结构柔顺度为 $C_1^\ast =1.157 7$ N$\cdot$mm 和 $C_2^\ast = 3.297 4$ N$\cdot$mm. 最优拓扑如图11 所示.

图11

图11 MCVC 模型得到的最优拓扑

Fig. 11 Optimized topology obtained by the MCVC model

为了比较,再计算一种情况：保持 60% 的体积比约束,使两工况的加权系数相同 $w_1 = 0.5$ 及 $w_2 = 0.5$,计算得到两工况下最大应力为 $\sigma _1^\ast = 58.60$ MPa 和 $\sigma _2^\ast =80.58$ MPa,同样比应力约束值小很多. 最优点处结构柔顺度为 $C_1^\ast =1.206 0$ N$\cdot$mm 和 $C_2^\ast = 3.264 1$ N$\cdot$mm.

可见,MCVC 模型对不同的体积比约束值,对应与不同的工况的权系数,不仅各自对应的最大 Mises 应力不同,而且最优拓扑构型也不一样. 原因在于,体积比约束值和多目标加权系数的预估,都没有找到理性的取值方法. 为此,导致下一步计算.

其二,MVCC 模型计算.

取结构体积极小化为目标、应力约束对应的全局应变能上限为约束条件^[26],计算所得最优拓扑如图12 所示.对应的 Mises 应力分布如图13 所示. 最优解的体积比为 29.44%.两工况下最优点处结构柔顺度皆正好满足各自的应变能约束条件为 $\overline {C_{1} } =3.841 4$ N$\cdot$mm 和 $\overline {C_{2} } = 7.412 3$ N$\cdot$mm;对应的最大应力为 $\sigma _1^\ast =125.00$ MPa 和 $\sigma _2^\ast = 125.00$ MPa,恰好满足应力约束条件^[26].此时两工况约束对应的 Lagrange 乘子为 $\lambda _1^\ast =22.2135$ 和 $\lambda _2^\ast =67.318 4$.

图12

图12 MVCC 模型得到最优拓扑

Fig. 12 Optimized topology obtained by the MVCC model

图13

图13 MVCC 模型得到最优拓扑的 Mises 应力分布

Fig. 13 Mises stress distribution of the optimized topology obtained by the MVCC model

其三,MCVC 模型再计算.

依据定理 2,确定再计算的 MCVC 模型体积约束值和多目标的权系数值：将 MVCC 模型得到的最优体积比 29.44%,作为 MCVC 模型的体积约束;依据上述得到的 Lagrange 乘子进行归一化处理,得到多目标的权系数 $w_1 = 0.248 1$ 和 $w_2 = 0.751 9$.再进行寻优计算,得到两工况下最大应力为 $\sigma _1^\ast =120.65$ MPa 和 $\sigma _2^\ast =125.12$ MPa,基本满足应力约束条件. 最优点处结构柔顺度为 $C_1^\ast = 3.777 6$ N$\cdot$mm 和 $C_2^\ast =7.381 0$ N$\cdot$mm,与 MVCC 模型的约束值接近.最优拓扑如图14 所示,与 MVCC 模型得到的最优拓扑构型相同. 对应的 Mises 应力分布如图15 所示.

图14

图14 MCVC 模型得到最优拓扑

Fig. 14 Optimized topology obtained by the MCVC model

图15

图15 MCVC 模型得到最优拓扑的 Mises 应力分布

Fig. 15 Mises stress distribution of the optimized topology obtained by the MCVC model

特别应当提醒一下,根据载荷大小的比值得到的多目标权系数为 $w_1 = 0.571 4$ 和 $w_2 =0.428 6$,而根据 MVCC 模型最优的 Lagrange 乘子得到的权系数为 $w_1 = 0.248 1$ 和 $w_2 = 0.751 9$.二者正好呈现相反的趋向,可见感性准则有时并不可靠.

可以看到,对 s-m 型问题,经过定理 2 的改造,不合理的模型求出了合理的结果.

5 结语

本文完成的工作是：

(1) 根据互逆规划的目标函数和约束条件各自单函数或多函数,相互进行组合,从原有一种的互逆规划出发,扩展得到了使互逆规划完备的 3 种类型.

(2) 依据数学规划的 KKT 条件理论,审视 3 种类型的互逆规划,对于每种互逆规划,提出和证明了各自双方关于拟同构和拟同解的 3 个定理.

(3) 提出了 3 种互逆规划的求解策略,阐述了具体的求解做法. 其中的要点是按一方解调整另一方的相关参数后,互逆规划双方在拟同解中得到了借鉴.

(4) 对于多目标规划的帕累托模型,提出了求解的一个新方法：取互逆规划第一方的最优Lagrange 乘子向量,作为第二方的多目标权系数向量,然后寻优.

(5) 对于不合理的结构拓扑优化模型,提出了得到 "合理结果" 的求解途径,亦即：基于 ICM 方法建模,借助 MVCC 模型,迂回地求解了 MCVC 模型.

(6) 给出了两个 2 维数学问题,图示了互逆规划双方关系;用 Matlab 编程,计算了多个结构拓扑优化个案;数值结果均支持了本文提出的互逆规划理论.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Bendsoe

, Kikuchi

Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1988,71(2):197-224

[2]

Mlejnek

Some aspects of the genesis of structures

Structural Optimization, 1992,5(1-2):64-69

[3]

Bendsoe

, Sigmund

Topology Optimization: Theory, Methods and Applications

NewYork: Springer-Berlin-Heidelberg, 2003

[4]

隋允康

. 建模$\cdot $变换$\cdot $优化: 结构综合方法新进展. 大连: 大连理工大学出版社, 1996

( Sui

Yunkang

. Modeling, Transformation and Optimization - New Development of Structural Synthesis Method. Dalian: Dalian University of Technology Press, 1996 (in Chinese))

[5]

隋允康, 叶红玲. 连续体结构拓扑优化的 ICM 方法. 北京: 科学出版社, 2013

( Sui

Yunkang

., Ye

Hongling

. Continuum Topology Optimization ICM Method. Beijing: Science Press, 2013 (in Chinese))

[6]

Sui

, Peng

Modeling, Solving and Application for Topology Optimization of Continuum Structures, ICM Method Based on Step Function

Elsevier, 2018

[7]

Xie

, Steven

A simple evolutionary procedure for structural Optimization

Computers and Structure, 1993,49(5):885-896

[8]

Osher

, Sethian

Fronts propagating with curvature dependent speed-algorithms based on hamilton-jacobi formulations

J Comput Phys, 1988,79(1):12-49

[9]

Wei

, Li

, et al.

An 88-line MATLAB code for the parameterized level set method based topology optimization using radial basis functions

Structural and Multidisciplinary Optimization, 2018,58(2):831-849

[10]

Norato

, Bendsøe

, Haber

, et al.

A topological derivative method for topology optimization

Structural and Multidisciplinary Optimization, 2007,33(4-5):375-386

We propose a fictitious domain method for topology optimization in which a level set of the topological derivative field for the cost function identifies the boundary of the optimal design. We describe a fixed-point iteration scheme that implements this optimality criterion subject to a volumetric resource constraint. A smooth and consistent projection of the region bounded by the level set onto the fictitious analysis domain simplifies the response analysis and enhances the convergence of the optimization algorithm. Moreover, the projection supports the reintroduction of solid material in void regions, a critical requirement for robust topology optimization. We present several numerical examples that demonstrate compliance minimization of fixed-volume, linearly elastic structures.]]>

[11]

Cai

, Zhang

An adaptive bubble method for structural shape and topology optimization

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2020,360:1-25

[12]

Bourdin

, Chambolle

Design-dependent loads in topology optimization

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 2003,9(8):19-48

[13]

Guo

, Zhang

Explicit structural topology optimization based on moving morphable components (MMC) with curved skeletons

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2016,310(10):711-748

[14]

Bourdin

, Chambolle

, Zhang

, et al.

A new three-dimensional topology optimization method based on moving morphable components (MMCs)

Computational Mechanics, 2017,59(4):647-665

[15]

Zhang

, Zhao

, Gao

, et al.

Topology optimization with closed B-splines and Boolean operations

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2017,315(3):652-670

[16]

Luo

, Bao

A material-field series-expansion method for topology optimization of continuum structures

Computers and Structures, 2019,225. DOI: 10.1016/j.compstruc.2019.106122

[17]

Rozvany

GIN

A critical review of established methods of structural topology optimization

Structural and Multidisciplinary Optimization, 2009,37(3):217-237

The aim of this article is to evaluate and compare established numerical methods of structural topology optimization that have reached the stage of application in industrial software. It is hoped that our text will spark off a fruitful and constructive debate on this important topic.]]>

[18]

Sigmund

, Maute

Topology optimization approaches

Structural and Multidisciplinary Optimization, 2013,48(6):1031-1055

[19]

, Sui

Different effects of economic and structural performance indicators on model construction of structural topology optimization

Acta Mechanica Sinia, 2015,31(9):1-12

[本文引用: 2]

[20]

彭细荣, 隋允康.

应该为结构拓扑优化的设计变量正名和处理方法顺言

北京工业大学学报, 2016,42(12):27-37

( Peng

Xirong

, Sui

Yunkang

Name correction for design variable of structural topology optimization and presentation of its corresponding treatment method

Journal of Beijing University of Techology, 2016,42(12):27-37 (in Chinese))

[21]

彭细荣, 隋允康.

对连续体结构拓扑优化合理模型的再探讨

固体力学学报, 2016,37(1):1-11

[本文引用: 2]

( Peng

Xirong

, Sui

Yunkang

A further discussion on rational topology optimization models for continuum structures

Chinese Journal of Solid Mechanics, 2016,37(1):1-11 (in Chinese))

[本文引用: 2]

[22]

Fleury

Structural weight optimization by dual methods of convex programming

International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1979,14(2):1761-1783

[23]

Fleury

Primal and dual methods in structural optimization

Journal of the Structural Division, 1980,106(5):1117-1133

[24]

Fleury

, Braibant

Structural optimization: A new dual method using mixed variables

International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1986,23(3):409-428

DOI URL

[25]

黄红选, 韩继业. 数学规划. 北京: 清华大学出版社, 2006

( Huang

Hongxuan

, Han

Jiye

. Mathematical Programming. Beijing: Tsinghua University Press, 2006 (in Chinese))

[26]

隋允康, 彭细荣, 叶红玲

等.

互逆规划理论及其用于建立结构拓扑优化的合理模型

力学学报, 2019,51(6):1940-1948

[本文引用: 14]

( Sui

Yunkang

, Peng

Xirong

, Ye

Hongling

, et al.

Reciprocal programming theory and its application to establish a reasonable model of structural topology optimization

Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2019,51(6):1940-1948 (in Chinese))

[本文引用: 14]

[27]

隋允康, 于新.

K-S 函数与模函数法的统一

大连理工大学学报, 1998,38(5):502-505

( Sui

Yunkang

, Yu

Xing

Uniform of K-S function and norm function

Journal of Dalian University of Technology, 1998,38(5):502-505 (in Chinese))

[28]

Jun

, Sui

Topology optimization using parabolic aggregation function with independent-continuous-mapping method

Mathematical Problems in Engineering, 2013,2013(3):1-18

[29]

钱令希, 钟万勰, 程耿东

等.

工程结构优化设计的一个新途径——序列二次规划 SQP

计算结构力学及其应用, 1984,1(1):7-20

( Qian

Lingxi

, Zhong

Wanxie

, Cheng

Gendong

, et al.

An approach to structural optimization--sequential quadratic programming, SQP

Computational Structural Mechanics and Applications, 1984,1(1):7-20 (in Chinese))

[30]

隋允康, 彭细荣.

求解一类可分离凸规划的对偶显式模型 DP-EM 方法

力学学报, 2017,49(5):1135-1144

( Sui

Yunkang

, Peng

Xirong

A dual explicit model based DP-EM method for solving a class of separable convex programming

Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2017,49(5):1135-1144 (in Chinese))

[31]

Sui

, Peng

Explicit model of dual programming and solving method for a class of separable convex programming problems

Engineering Optimization, 2019,51(7-9):1604-1625