网格生成是计算流体力学(computational fluid dynamics,CFD)数值计算的第一步,张涵信院士将网格生成列为CFD研究的5个“M”之一†^[1-2];在NASA的研究报告《CFD Vision 2030 Study: A Path to Revolutionary ComputationalAerosciences》†^[3]中,“几何与网格生成”被列为未来六大重要研究领域之一,网格生成在CFD数值模拟中的作用和重要性可见一斑.

在现代CFD应用过程中,自动生成复杂构型的高质量网格(包括自适应)依然是一个重大挑战性问题. 自动化程度和网格质量是网格生成过程中最重要的两个问题†^[4-5]. 据文献统计,网格生成通常占据整个计算周期大约60%的人力时间,高度自动化的网格生成方法无疑可以很大程度节约CFD计算周期内的人工成本.

除此之外,网格质量的好坏直接影响计算结果的精准度,尤其是在复杂外形湍流数值模拟中,需要在流动参数梯度大的区域内加密网格;在边界层内、激波附近、分离区内也需要高质量的网格. 现阶段借助商业软件(如Gridgen, Pointwise或ICEM等)生成网格,其网格质量高度依赖网格生成人员的经验,导致不同条件下生成的网格质量各不相同,针对同一问题得到的数值模拟结果也常常较为分散,这也是近年来举办的AIAA阻力预测会议(drag prediction workshop, DPW)†^[6-7]、高升力预测会议(high lift predictionworkshop, HiLiftPW)†^[8-9]和我国航空CFD可信度研讨会(aeronautical credibility workshop, AeCW)†^[10-11]等CFD验证与确认会议均提供了官方基准网格的原因,目的就是避免因人工网格生成差异导致数值模拟结果无法在同等的条件下进行比较. 随着CFD应用领域越来越广泛,应用案例越来越复杂,人们逐渐认识到现有网格生成技术的不足仍然制约着复杂外形的数值模拟能力,仍需开展高度自动化的高质量网格生成技术研究.

近年来,以深度学习和深度强化学习为代表的人工智能方法在各行各业得到广泛应用,也取得了举世瞩目的成功.2016年3月以来,基于深度强化学习的人工智能围棋程序AlphaGo相继以4:1和3:0打败了人类围棋高手李世石和柯洁.以此为契机,人工智能和机器学习高调进入大众视野,并获得极高关注度.随着人工智能、大数据、超级计算机的发展,人工智能方法正在逐渐成为改变人类未来社会的重要工具.

基于深度学习和深度强化学习的人工智能技术已经成功应用于工业社会的多个领域,如语音识别、机器翻译、图像识别、自动驾驶、智能推荐、搜索引擎等等. 在流体力学专业领域,许多学者在人工智能方法与流体力学方法的结合领域也开展了许多探索性工作†^[12]. 比如传统POD,(proper orthogonal decomposition),/,PCA,(principal componentanalysis)分析方法可以由经过训练的多层神经网络替代,用于数据降阶模型建立†^[13-15];结合深度神经网络和传统PIV的新型粒子图像测速方法在精度、分辨率和计算效率上比传统的相关分析法和光流法更具优势,并最终达到商用PIV软件的水平†^[16];在流场可视化领域,卷积神经网络被用于漩涡等流场特征的识别与提取及原位可视化的数据压缩†^[17];在气动外形优化方面,通过对翼型气动数据库进行学习,神经网络可用于翼型气动力预测和反设计†^[18];在湍流建模方面,采用人工神经网络对湍流黏性系数进行建模,可代替传统的湍流模型,对雷诺平均NS,(Reynolds averaged Navier-Stokes, RANS)方程进行封闭†^[19-21].在鱼类自主游动控制、无人机自主飞行控制、微型水下机器人控制等†^[22]领域,深度强化学习也展现出强大的应用前景.

深度学习方法†^[23]之所以能够取得广泛应用,是因为其基于深层神经网络对复杂非线性关系进行分层表示,通过大量样本数据的训练,使其能够掌握数据中的内在规律. 对于网格生成而言,经历了几十年的发展和应用,已经积累了大量各种类型的网格数据,这些网格数据包含了网格生成人员对几何、CFD和流体物理知识的理解,如果采用大量现有网格数据进行训练,基于人工神经网络的深度学习有望学习获取网格中隐含的网格生成经验和方法,形成鲁棒、自动化、智能化的网格生成方法,将缩短CFD数值模拟的计算周期,同时使网格生成人员得到一定程度地解放.

本文首先简要介绍传统非结构/混合网格生成技术,并分析传统方法的优劣;简要综述人工智能方法在CFD网格生成领域的研究进展;随后提出基于人工智能方法的网格生成技术有待解决的问题,最后介绍基于人工神经网络的阵面推进法生成非结构网格的初步探索,以期为人工智能方法在网格生成技术中的发展提供参考.

在CFD领域,最早得到发展与应用的是结构网格,结构网格节点之间的连接关系存在隐含的顺序,可以在几何空间进行维度分解,并可以通过各方向的指标$(i, j, k)$增减直接得到对应的连接关系,数据直接采用多维数组进行存储,如$x (i, j, k)$,$y (i, j, k)$,$z (i, j, k)$,结构网格数据结构和算法实现均简单直接. 但是随着模拟的问题越来越复杂,结构网格对复杂外形的适应性不够,导致复杂外形结构网格生成困难,因而CFD研究人员提出了各种解决办法,如结构分块网格、对接或拼接网格、重叠网格等等,同时灵活性更高、适应性更强的非结构网格也得到了重视和迅速发展.

非结构网格节点间的关联不存在直接的顺序关系,其节点和单元编号在空间是随机分布的,节点和单元信息采用特定的数据结构存储,因此非结构网格存在灵活性高的优点,但也存在数据结构复杂、存储和计算效率低、黏性流动模拟较难达到高精度等缺点.正因为结构网格和非结构网格各有优劣,结合两者优势的混合网格便应运而生.针对复杂外形黏性流动数值模拟,在边界层内生成结构或半结构的各向异性四边形网格(二维)或三棱柱/六面体(三维),而在远离物面处填充各向同性的三角形或四面体网格,这样既保证了边界层内黏性流动的模拟精度,又便于各向同性三角形/四面体的自动化生成,在保证计算精度的同时大大减少了网格生成工作量.

Baker在总结了各种网格生成方法之后,认为非结构三棱柱/四面体混合网格在黏性流动模拟精度和易用性上达到了很好的平衡(图1所示),是未来网格技术的发展趋势†^[5].近年来,在远场网格生成时大量采用自适应Cartesian网格技术,“多网格”技术的综合应用无疑能更好地发挥各种网格技术的优势.

传统的非结构网格生成技术主要有†^[24]：阵面推进法、Delaunay方法和四叉树/八叉树方法,以及基于上述三类方法进行改进或推广†^[25-26],如非结构四边形网格的生成方法可以采用三角形网格的分解或者合并(间接法,如图2),或以拓展阵面推进的思想,直接在计算域内逐个生成†^[27]或者一排一排生成四边形单元(也称作铺路法或层推进法)等. 除此之外,四边形网格还可以通过几何分解和子域网格生成两个步骤直接生成†^[28].

对于边界层内采用结构或半结构的四边形(2D)、六面体或者三棱柱网格(3D)的非结构混合网格,边界层网格剖分可以采用层推进†^[29]、求解偏微分方程法†^[30-31]及基于各向异性四面体聚合的三棱柱网格生成方法等†^[32-33],如图3所示.

上述方法中,阵面推进法流程清晰、对几何边界的适应能力强、通过控制推进步长进而控制网格疏密分布,但是其相交性判断较为繁琐,网格质量仍有优化空间.Delaunay方法能够得到尽可能高质量的三角形网格,效率也较阵面推进法高,但是不能保证计算域边界的完整性,需要设计合理的边界恢复算法. 依靠叉树结构生成非结构网格效率较高,但是生成黏性边界层内的贴体网格比较困难.而生成边界层网格的层推进法在处理复杂外形几何曲率剧烈变化处仍然难以避免网格相交性判断.求解偏微分方程可以得到质量较高的边界层网格,但是在物面有凹凸、棱角等间断信息时容易求解发散,导致网格生成失败.

总之,上述几种方法各有优劣,这也使得发展新的网格生成算法成为迫切需求.2017年AIAA举办的第一届几何与网格生成 研讨会(Geometry and Mesh Generation Workshop,GMGW-1)就指出应该鼓励非传统的网格生成方法参会†^[34],针对未来CFD的研究与应用,结合当前已有的网格生成方法或者基于全新思路,进一步发展自动、高效、鲁棒的网格生成技术仍是十分有价值的研究方向.

尽管机器学习方法在社会生活,甚至流体力学专业领域都得到了大量的应用,但是这些方法在CFD网格生成方面的应用仍极为少见.

从20世纪90年代开始,随着人工神经网络的发展,一些研究人员就逐渐尝试将神经网络应用于网格生成领域.这些工作主要可 以归为以下几类：

(1) 采用自组织特征映射神经网络进行网格重建. 比如Ahn等†^[35]提出基于自组织 特征射(self-organizingfeature mapping,SOM)神经网络进行有限元网格的生成,通过将权重设置为节点坐标,自组织网络可以通过调节权重自动将神经网络拓扑特征映射到样本数据点,样本数据自动形成含拓扑关系的非结构网格;Alfonzetti等†^[36-39]采用了一种能够根据样本分布特征自动增加或减少输出层神经元的增长型SOM神经网络——,Let-It-Grow(LIG)神经网络,根据密度分布函数和边界信息自动逐步生长出有限元网格,同时能够保持样本的拓扑和密度分布;吕宏强等†^[40]将SOM神经网络引入多重网格稀疏网格的生成,很好地保持了稀网格和密网格之间的拓扑和密度分布关系.大连理工大学陈先华†^[41]对LIG网络进行了改进并提高了网格质量;张伟等†^[42]基于SOM神经网络对三维散点数据进行精简和三角形曲面网格进行了重建;Jilani等†^[43]基于SOM神经网络生成的二维初始网格进行有限元分析,并计算出应力集中部位的网格自适应参数,再次采用SOM神经网络对初始网格进行自适应.图4为SOM神经网络结构示意图.

SOM神经网络的输出层(也称作竞争层)具有网格拓扑(如二维的三角形拓扑和四边形拓扑),通过样本数据的学习,能将样本数据在输出层映射成一维或多维网格;网络通过对输入样本的反复学习可以使权重向量空间与输入样本的概率分布趋于一致,即概率保持性.其生成网格的拓扑由神经网络输出层的拓扑结构决定,因而比较适合拓扑简单的各向同性三角形或者四边形网格的生成,而较难处理具有复杂拓扑结构的混合网格.同时SOM神经网络还需要输入具有合理密度分布的样本点,这对各向异性网格也比较困难,因而也难以生成计算流体力学中常用各向异性网格. 对于三维问题,尤其是混合网格,SOM神经网络结构也会十分复杂.

(2) 基于多层神经网络进行网格密度预测. 如Lowther等†^[45]将多层神经网络应用于有限元网格自适应中的网格密度预测,通过训练神经网络建立起几何外形或流场特征与网格密度分布之间的关系,可以为网格节点分布和自适应提供更好的依据,提高网格自适应的效率和计算结果的精准度.Chedid等†^[46]也通过前向神经网络建立几何特征与网格密度之间的关系,为自组织映射神经网络提供网格密度分布作为样本输入.Zhang等†^[47]通过在不同密度的均匀网格上进行误差评估,建立起边界特征、流场特征与网格密度分布的关系,并采用人工神经网络学习这种关系,实现网格密度分布的预测.

(3)采用人工神经网络学习网格生成规则,直接生成新网格点或单元.Yao等†^[48]最早于2005年基于人工神经网络的单元提取法(element extractionmethod)直接生成网格,采用反向传播算法训练深度神经网络进行二维有限元网格剖分研究,通过神经网络学习四边形网格生成规则,训练好的神经网络可以替代原先的复杂繁琐的条件判断,在二维情况下取得了较好的生成效果.该方法中神经网络基本取代了传统的网格生成规则,发挥了人工神经网络非线性表达能力较强的优势.但是该方法基于所谓的单元提取法,并非网格生成领域常用的方法,自动化程度有待提高,扩展到三维、混合网格和各向异性网格时也会存在较大难度.同时,该方法中神经网络的训练并非自动提取大量样本数据进行训练,而是手动提取少量样本进行反复训练.

除此之外,在CAD模型修补简化、网格质量检测与优化等前处理步骤中,也有一些研究人员尝试应用机器学习技术. 例如,Danglade等†^[49]采用机器学习方法对CAD数模进行特征简化;Stadler等†^[50]将人工神经网络应用于网格变形,并与基于径向基函数(RBF)和反距离权插值的变形方法进行了比较;高翔†^[51]也提出了基于支持向量机的并行网格变形算法;黄尚坤†^[52]发展了基于卷积神经网络的网格质量判别技术.

除此之外,最近10年机器学习在网格生成领域的研究工作较为罕见,这与当下机器学习在流体力学领域甚至人工智能领域的研究热潮并不相称. 通过前期调研和初步研究,发现在将机器学习方法推广应用于CFD网格生成时,仍存在一些尚未解决的关键问题,这也是机器学习在网格生成领域的研究工作罕见的原因.

(1) 如何建立通用的基于机器学习的计算流体力学网格生成方法?自组织神经网络不适合混合网格和各向异性网格的生成,因而只适用于简单各向同性网格生成.传统意义上,CFD网格大多还是基于阵面推进法、Delaunay方法、四叉树/八叉树方法、层推进法和求解偏微分方程等方法生成,因此在设计基于机器学习的网格生成方法时,必须充分考虑到CFD网格特征及其传统生成方法的特点和优劣.

(2) 如何在现有网格数据中自动识别和提取网格特征并构造训练样本数据集?网格特征往往与几何特征和流动特征相关联,如网格类型和网格疏密等特征一般由物面几何曲率、流动物理量梯度等决定,这些关联关系也是网格生成经验的具体体现.要采用神经网络建立起网格类型、网格疏密分布与物面几何曲率、流动物理量梯度等之间的关系,就需要设计恰当的样本数据格式,确保这些关联关系和网格生成经验仍然能保留;此外,手工提取大量训练数据是不现实,需要实现样本数据的自动提取.

(3) 如何通过深度学习训练提取大量网格数据中的特征以及如何使用深度学习生成网格?深度学习具有较强的非线性拟合能力,而神经网络结构和参数对学习效率和学习效果影响较大,需要进一步探索优化神经网络参数,使得训练更快更准确.此外,参考文献中的方法,可采用深度学习进行网格密度分布的学习训练.但是在训练完成后,如何将训练好的神经网络用于复杂外形的网格生成,是否需要结合传统方法进行,如结合阵面推进法、Delaunay方法、四叉树/八叉树方法,或是基于全新的方法等.

(4) 在CAD模型修补简化和网格质量检测与优化等前处理步骤中,探索应用机器学习技术,解决传统方法存在的弊端.

由于阵面推进法具备较好的通用性,能够较为方便地推广到混合网格、各向异性网格和三维情况,这是其他传统网格生成方法不具备的优势. 通过结合传统的阵面推进法,本文在基于人工神经网络的非结构网格生成技术方面进行了初步探索.主要包括3方面内容：(1) 网格训练样本数据格式的设计与数据集的自动提取;(2)适用于网格数据学习的人工神经网络设计与训练;(3) 基于人工神经网络的三角形网格的阵面推进生成.

本文基于阵面推进法进行网格生成,因此在设计训练样本时就需要考虑到阵面推进的特点.

如图5所示,针对三角形网格,训练样本考虑基准边($B_{1}, B_{2}$)及其左邻点($L_{1}$)和右邻点($R_{1}$),其目标点($TP$)与基准边构成目标三角形. 因此可将训练样本设计为输入$L_{1}$, $B_{1}$,$B_{2}$, $R_{1}$4个点的坐标,输出目标点${TP}$的坐标和生成模式,写成数组形式为

$\begin{align}{Input} = [x_{L1}, x_{B1}, x_{B2}, x_{R1}, y_{L1}, y_{B1}, y_{B2}, y_{R1}] \\ {Output} = [x_{TP}, y_{TP}, {mode}]\end{align}$

在原始阵面推进法中需要进行大量相交性判断,新生成的边不仅需要跟活跃阵面进行相交性判断,还要与已经生成的非活跃网格边进行判断,操作十分费时. 为减少相交性判断次数,参考文献[48]的做法,本文引入网格生成模式(mode).其内涵是：假设训练样本的4个模板点分别为$L_{1}$,$B_{1}$,$B_{2}$和$R_{1}$,其构成的几何关系可以根据其连线的夹角的大小人为分成3类,即目标点选择生成的新点为模式1;目标点不选择新点而直接选择$L_{1}$点为模式2;目标点直接选择模板$R_{1}$点为模式3,如图6所示是一种模式分类实例.

采用人工神经网络进行模式预测,对于模式2和模式3,由于模式分类直接指定了目标点,可省去候选点相交性判断等筛选过程;直接与模板现有点相连也不会出现与非活跃边相交的情况,无需与非活跃边进行相交性判断,可以减少相交性判断;比如,如图7(a)所示,采用原始阵面推进法时,新生成的边必须与非活跃边(边1-2)进行相交性判断,否则阵面4-5在生成时会选择3点,生成不符合要求的4-5-3单元,而若是采用人工神经网络提前进行生成模式预测,则神经网络能够提前预测出生成模式2,从而减少了大量的与非活跃边的相交性判断,直接与现有点2相连,生成4-5-2单元,如图7(b)所示.

为消除不同位置训练样本由于坐标绝对位置差异带来的影响,提升训练效果, 对样本数据进行归一化处理.具体来说,通过平移、缩放、旋转等操作将$B_{1}$,$B_{2}$变换到(0, 0)和(1,0),而$L_{1}$,$R_{1}$,${TP}$通过同样的变换操作,变换到新的位置,分别记为$(\bar {x}_{L1},\bar {y}_{L1})$, $(\bar {x}_{R1}, \bar {y}_{R1})$和$(\bar {x}_{TP}, \bar {y}_{TP})$.因此归一化之后的样本为

$\begin{align}{Input} = [\bar {x}_{L1}, 0, 1, \bar {x}_{R1}, \bar {y}_{L1}, 0,0, \bar {y}_{R1}] \\ {Output} = [\bar {x}_{TP}, \bar {y}_{TP}, {mode}]\end{align}$

此外,采用one-hot向量将生成模式转换为机器学习更易于利用的形式

$\begin{align}{mode1: mode} = [1 \ 0 \ 0] \\ {mode2: mode} = [0 \ 1 \ 0] \\ {mode3: mode} = [0 \ 0 \ 1]\end{align}$

为自动生成大量训练样本,可以采用商业软件或其它现有软件生成基准网格,,对网格中每个边进行遍历,以该边 作为基准边,自动提取其训练样本.

对于如图8所示的同一基准边(node14, node15)、同一目标点(node11),但是基准边邻近点不同的情况(邻近点为node10和node17,或node8和node17,或node8和node11,或node11和node17),本文将其视作不同的训练样本,因此样本数量将是网格边数量的数倍.

如图9所示,对各向同性三角形网格进行训练样本自动提取,对于含有12,582个边的二维NACA0012翼型三角形网格,经过自动提取,可得 到293,746个样本,其输入和输出分别为293,746$\times$8和293,746$\times$5的两个数组.

本文基于Matlab神经网络训练工具设计全连接的人工神经网络,网络含有1个输入层,1个隐藏层,1个输出层.输入层含有8个神经元(分别输入4个模板点的坐标),输出层含有5个神经元(分别输出1个新点坐标和1个生成模式one-hot向量),隐藏层的神经元数量为20个,激活函数采用Sigmoid函数,损失函数为均方误差函数,训练方法采用Levenberg-Marquardt反向传播方法,该方法比常规的梯度下降反向传播算法训练效率更高,具体可以参考文献[53].神经网络的结构如图10所示.

网格训练样本按80%,10%和10%的比例随机划分为训练集、测试集和验证集,图11给出了在三角形网格训练集上的Loss值及在验证集上的预测精度收敛历程.结果显示：经过500多次迭代后,Loss值及预测精度均下降到了0.013左右.

传统阵面推进法(advancing front method, AFT method)的基本思想是首先将计算域的边界划分为小的阵元,如二维情况下的线段、三维情况下的表面三角形. 由此构成初始阵面,然后选定某一阵元,将某一在计算域中新插入的网格节点或原阵面上已经存在的点与该阵元相连构成基本单元(二维时为三角形,三维时为四面体). 初始阵面不断向计算域中推进,逐步填充整个计算域,如图12所示,具体算法流程可参考文献[24],本文不再赘述.

阵面推进法中需要进行大量候选点的相交性判断等筛选过程,繁琐耗时.经过训练的神经网络能够根据输入模板点,输出生成模 式和新点坐标,结合生成模式可以省去繁琐耗时的相交性判断操作.因此本文结合阵面推进的思路,逐步生成非结构三角形网格,新方法流程如图13所示,本文称之为基于人工神经网络的阵面推进方法,简称ANN-AFT方法,具体方法流程如下：

(1) 将几何边界离散成阵元;

(2) 从最小阵面出发,自动选择阵面左右相邻的网格点作为模板点,归一化处理后作为神经网络输入,人工神经网络输 出生成模式和新点的归一化坐标;

(3) 根据生成模式和新点坐标生成新网格单元,具体来说：首先根据不同生成模式,确定是否使用新点. 若为模式1,则使用新点,根据局部网格步长控制确定新网格点在计算域中的绝对坐标(“反归一化”),按照传统阵面推进法,将新点与其周围一定范围内的阵面点搜集起来组成候选点集合,按照候选点构成的网格质量高低,依次进行相交性判断等筛选;若为模式2或模式3,则直接选择相应的模板点,跳过步长控制和候选点相交性判断;

(4) 判断新单元是否合适,比如单元网格质量是否满足要求等,如合适,则更新数据结构,即更新点面体之间的关联关系、标记面是否活跃等;

(5) 回到步骤2,直至所有面变成非活跃面,整个计算域被网格填满.

通常,阵面推进法生成的初始网格要经过优化才能得到高质量的网格. 在本文的算例中,引入Delaunay准则对质量较差的单元进行对角线变换,如图14,同时引入弹簧松弛法对节点坐标进行优化†^[27],如图15,以提升网格质量.

阵面推进法中必须给定网格步长分布,这里采用背景网格方法人为指定网格步长,具体方法不再赘述.

根据上述思路,本文生成了几个简单外形(矩形、圆柱、NACA0012翼型和三段翼型)的非结构三角形网格. 如图16所示,初始网格中红色边为神经网络生成,蓝色边为选择现有点生成的边.

对圆柱、NACA0012翼型和三段翼型网格进行质量检测,考察三角形质量参数$\alpha$,及相邻单元的面积比$\gamma $. 其中三角形质量参数$\alpha $的定义为

$\alpha = 4\sqrt 3 \dfrac{S_{\Delta ABC} }{\left| {AB} \right|^2 + \left| {BC}\right|^2 + \left| {CA} \right|^2}$

$\alpha$越接近1,网格质量越好,正三角形$\alpha = 1$,表1给出了网格质量检测结果,结果显示：本文方法优化生成的网格质量最小$\alpha$和最小$\gamma $(表中记为min.)均比某知名商业软件略高,而本文生成的网格(表中present值)平均$\alpha $和平均$\gamma $(表中记为avg.)均与商业软件(表中ref.值)接近,证明本文生成的三角形网格质量较高.

此外,还对原始阵面推进法和基于人工神经网络的阵面推进法耗时进行比较,如表2所示. 与原始的阵面推进相比,ANN-AFT相交性判断减少30%以上,推进耗时节约30%,新方法具有更高的效率. 预计在三维情况下,原始方法的相交性判断量更大,ANN-AFT方法能节约更多时间.

进一步的,采用合并法生成非结构三角形/四边形混合网格,根据与相邻单元合并后的新单元质量$\beta $的高低,选择质量最高的单元进行合并,生成新的四边形单元. 四边形单元的质量$\beta $定义为

$\beta = \dfrac{\alpha _3 \alpha _4 }{\alpha _1 \alpha _2 }$

式中,$\alpha $为四边形沿两条对角线分成的4个三角形对应的质量参数,且满足$\alpha _1 \geqslant \alpha _2 \geqslant \alpha _3 \geqslant \alpha _4 $. 凸四边形$0 < \beta \leqslant 1$,越接近1四边形质量越好,凹四边形$\beta < 0$.

图17和表3给出了商业软件生成的混合网格和本文生成的混合网格的对比结果.由表3中数据可见,本文生成的混合网格的平均面积比$\gamma $和平均质量$\beta$均与商业软件生成的混合网格(表中ref.;值)接近,证明本文的混合网格质量达到了较好的水平.

本文首先简要回顾了传统的非结构/混合网格生成方法,随后综述了机器学习方法在非结构网格生成领域的应用,提出了在非结构/混合网格生成中应用机器学习方法存在的4个方面的关键问题,最后,结合人工神经网络和阵面推进法进行了非结构/混合网格生成的初步探索,主要包括：

(1) 设计了非结构网格样本数据格式并实现了样本数据集的自动提取;

(2) 初步发展了一种基于人工神经网络的二维非结构网格阵面推进生成方法;

(3) 采用新发展的方法生成了几个典型二维各向同性非结构混合网格并测试了网格质量和生成耗时.

结果显示本文方法生成的网格质量可以达到商业软件的水平,且由于减少了相交性判断,生成效率较传统阵面推进法更高,显示人工智能方法在非结构网格生成中有较好的应用前景.

下一步将持续开展更加深入的研究,比如将本文方法推广到三维情况. 在三维情况下,阵面是三角形面,网格模板是多个面的集合,比二维更复杂;同时,三维时生成模式预计不止3种,建立合理完整的生成模式分类也比二维更难,值得进一步探索.

除此之外,结合人工神经网络与层推进方法发展各向异性网格生成方法,并进一步生成各向异性混合网格;也可考虑改进样本数据格式,引入网格夹角、到壁面的最小距离、增加相邻点等参数;考察神经网络参数对训练结果的影响;通过改进现有的阵面推进法,并行推进生成网格,进一步提高网格生成效率;训练人工神经网络进行网格密度分布预测;在CAD数模修补与简化等方面引入机器学习方法等.