引 言

在力学分析中,存在标量和向量两种物理量. 以牛顿力学为代表的向量力学就是以状态变量(位移、速度、力等)作为描述系统运动的关键量; 而以力学变分原理为代表的拉格朗日(Lagrange)及哈密顿(Hamilton)表述,则从能量角度对物理运动规律进行了更深刻剖析. 对无能量交换(耗散)的保守系统,能量都是存在守恒率的,因此能量刻画往往更能揭示物理运动的内在联系与不变性,在多物理场耦合的情况下尤其如此. 例如,声振耦合、流固耦合问题,此时耦合场边界的相互作用力往往难于测量或计算,而功率、能量往往可通过先验性的假设获取,对于此类问题,基于能量的动力学描述法具有明显的优势.

事实上,自1962年Lyon^[1]提出的双线性耦合振子能量流模型以来,不少学者已经逐渐意识到,对于大型复杂系统,即便是采用有限元为代表的精确建模法,也很难模拟真实结构振动噪声问题,其本质原因是有限单元模型与真实模型总存在建模误差,这些误差在高频区将对计算结果产生不小的影响^[2].如果放弃对复杂系统运动场及其边界的精确描述,从能量等效角度,用简单的运动模式去代替复杂系统的运动规律,既能保证工程分析精度要求,同时也大大简化了建模难度. 基于能量的基本建模方法有:统计能量法^[3,4]、热传导模拟法^[5,6,7],其中前者是集总参数模型,后者为分布参数.由此发展出来的各种混合建模法^[8,9,10],都旨在尽可能不提高模型复杂度的前提下,拓宽模型频带适用范围.需要指出的是,能量流(功率流)的计算与能量法建模是两个不同概念,前者完全可经由其他方法,诸如有限元^[11]、导纳法^[12]、波法^[13,14]来获得.

除了能量角度外,也有从行波导能机制出发,研究复杂结构的中高频动力学行为的,Mead^[15,16]最早将周期结构波动理论,应用于求湍流脉动压力激励下的结构响应问题,其后vonFlotow^[17,18]将该理论和方法应用于大型空间结构的振动、噪声控制问题,并提出结构动态分析声限观点^[19],即结构动态响应分析方法需要按频率高低来选取: 低频区适合用模态分析,中频区适用于波传播分析方法,而高频区则适用于统计能量法.程伟^[20]、朱桂东^[21]、田艳^[22]等学者分别对结构行波的传播机制和各种应用做了大量研究.从现有文献来看,针对高频区的结构行波理论及其建模计算方法已有较为充分的研究,但在低频区,考虑近场衰减振动耦合作用下的能量、功率分布特性研究还未见到. 事实上,对于其他诸多框架结构动力学问题,例如地震、冲击^[23],近场振动解不能忽略,有必要对此问题做进一步研究,以便将能量建模法应用到低频问题的分析中.

本文从无阻尼欧拉-伯努利 (Euler--Bernoulli) 梁解析解出发,推导了基于谱系数的能量、功率达式,并以此为基础,着重讨论两种运动场------行波场和衰减振动场关于功率、能量泛函的叠加性(正交性)问题,指出低频区能量传导方式除了"波导"(wave-guide)外,还存在另外一种重要导能模式------"振导" (vibro-guide)模式,其导能方式与弹性波存在本质差别. 最后,通过中点加载右端集中阻尼器支撑的梁的数值仿真,分析了"振导"模式随频率变化趋势以及导能效率.

本文工作的创新点有:

(1) 从能量、功率泛函的可叠加性出发,扩展了振型正交性概念,使得非共振频率下的其他典型运动模式,如行波、近场衰减振动同样具有某种正交性,加深了对变形运动模式间能量、功率耦合关系的认识;

(2) 将度量矩阵的概念引入到能量、功率计算中,在数学形式上统一了离散质点和连续体的能量、功率计算表达式;

(3) 并借此分析了弯曲行波、近场衰减振动的正交性问题. 尽管对梁杆结构的能量、功率计算公式已有报道^[13,24],但是均未能从叠加性或者说正交性角度做,进一步深入的探讨,换句话说,本文是从更高的角度揭示了已有公式的物理和数学本质;

(4) 根据近场衰减振动关于功率泛函不正交的特点,首次提出"振导"模式概念,从理论和数值仿真上进一步证实其与传统波传导模式存在本质差别,同时还严格证明了高频段忽略近场衰减振动的合理性;

(5) 首次引入无量纲参数: 能量传送比$\eta $,用以衡量能量传导的难易程度,并将其用于能量流数值仿真分析中.

1 基本理论

本章首先从运动的合成与分解出发,讨论了正 交标架和能量泛函之间的内在联系,并将此概念拓展到一般周期函数的研究中,即傅里叶(Fourier)级数.通过对周期信号的能量和功率的计算,揭示出傅里叶函数空间关于能量、功率泛函具有叠加性这一重要属性,为下一章有关欧拉-伯努利梁的运动模式分解及其能量、功率计算做铺垫.

1.1 向量正交分解与能量叠加原理

在力学分析中,给定一个速度向量$ v$原则上可以做任意分解: 正交或斜交,如图1所示. 此时$ v$具有如下叠加形式

$ v =v_x\oplus v_y= v_x g_1 + v_y g_2 $

(1)

使用直和记号$ \oplus $是为了避免在叠加公式中反复出现基底向量$ g_{1,2} $,详见附录A的说明.

如果选定一种标架,那么合成运动的总比动能$e_{k}$(单位质量的动能)显然有

$ e_{\rm k} = \dfrac{1}{2} v \cdot v = v^{\rm T} G v,\ \ G_{i,j} = \dfrac{1}{2} g_i \cdot g_j $

(2)

式中对称正定方阵$ G$称为度量矩阵,与能量泛函$e_{\rm k} $的定义以及标架选取有关. 从纯粹计算角度看,正交标架与斜交标架并无本质区别,但是,注意到正交分解对应的度量阵$ G = 0.5 I$,具有对角化特性,由式(2)可得能量叠加原理

$ eq3{{e}_{\text{k}}}({{v}_{x}}\oplus {{v}_{y}})={{e}_{\text{k}}}({{v}_{x}})+{{e}_{\text{k}}}({{v}_{y}})=\frac{1}{2}v_{x}^{2}+\frac{1}{2}v_{y}^{2} $

(3)

上式的重要物理意义在于,在正交标架下,运动的分解关于能量泛函满足叠加原理,亦即总比动能等于各分运动的比动能之和,此时的向量分解或叠加称为"正交的". 对于如图1(b)所示的斜交分解显然是不满足的,这说明两个分运动之间并不完全独立,或者说存在一定干涉、耦合、相干,其代数特征是度量矩阵$ G$非对角.

从上面的讨论可以看出,"正交性"完全可以脱离几何上的"垂直"概念而独立存在,它是伴随能量泛函$e_{\rm k}$而产生的,实质是给运动分解增加一个"独立性"要求,因此,采用具有某种正交性的"坐标系"无疑给问题的分析与描述带来巨大便利.

1.2 傅里叶级数的能量叠加原理

进一步的,上述将二维运动分解为两个一维运动的"线性叠加"思想,推广到周期函数中便是熟知的傅里叶级数展开法. 众所周知傅里叶级数存在正交性,那么该正交性是否和能量叠加原理有关则是本节所要阐明的. 假设速率$v(t)$为周期信号,其傅里叶级数展开式为

$ eq4v(t) \doteq \sum\limits_{n = 0}^\infty \hat{v}_n \mbox{e}^{{\rm j}\omega _n t} \doteq \oplus_n \hat{v}_n,\ \ \omega _n = n\omega _1 $

(4)

式中引入了单边记号"$\doteq$"是为了强调书写时省略了记号右端的共轭部分,相关说明详见附录B. 与速度向量分解类似,傅里叶展开式的意义在于将任意周期信号看成函数空间$\varPhi= \{\phi _n = \mbox{e}^{{\rm j}\omega _n t}|n =0,1,2,... \}$的一个坐标点,坐标值就是复向量$\hat{ v} = [\hat{v}_0,\hat{v}_1 ,...]^{\rm T}$,如图2所示.

图2仅画了两个标架,而全部标架是有无限个的. 图中有意将函数标架(或称基底)画成垂直,那么自然要问周期函数空间中标架$\{\phi_n\}$之间的正交性是如何定义的. 事实上,根据上一节,必须先引入能量泛函,不妨仍选比动能的时间平均值$\bar{e}_{\rm k} $,有

$ eq4\left.\begin{array}{l} \bar{e}_{\rm k} (v) = \dfrac{1}{2}\left\langle {v,v} \right\rangle _{\rm T} = \sum\limits_{n > 0} {\bar{e}_{\rm k} \left( {\hat{v}_n } \right)} \\ \bar{e}_{\rm k} \left( {\hat{v}_n } \right) = \left| {\hat{v}_n } \right|^2 \\\end{array}\right\} $

(5)

上式说明,速率信号的总比动能时间平均值,等于各周期信号的能量和,满足关于时间平均比能的叠加原理,因此傅里叶分解可以看成是关于时间平均比能的正交分解,不同频率间的能量互不干涉. 所以图2中将函数基底画成垂直是合理的.

需要补充说明的是,如果取动能峰值作为能量泛函,则叠加原理不再成立,即

$ \left.\begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{0 < t < T} e_{\rm k} \ne \displaystyle\sum\limits_{n > 0} {\mathop {\max }\limits_{0 < t < T} e_{\rm k} \left( {\hat{v}_n } \right)} \\ \mathop {\max }\limits_{0 < t < T} e_{\rm k} \left( {\hat{v}_n } \right) = 2\left| {\hat{v}_n } \right|^2\end{array}\right\} $

(6)

上式说明,采用傅里叶展开,对于只关心信号极大值的情况,例如冲击问题,并不十分有效.

1.3 功率内积与双线性泛函

功率是衡量能量交换快慢的一个物理量. 对于离散质点,$P(t) = Fv\cos \theta $,因此功率本质上就是两个实信号的乘积信号. 设力信号$F(t)$、速度信号$v(t)$具有如式(4)所示的傅里叶展开形式,并且相互平行,则时间平均功率$\bar{P}$

$ \bar{P} = \langle v,F\rangle _{\rm T} \doteq \sum _n \hat{v}_n^\ast \hat{F}_n $

(7)

上式说明,不同频率之间力和速度信号关于时间平均功率是正交的,换句话说,傅里叶分解关于功率泛函满足叠加原理,即

$ eq8\bar{P}\left( { \oplus _n \hat{v}_n ,\oplus _m \hat{F}_m } \right) = \sum _n \bar{P}\left( {\hat{v}_n ,\hat{F}_n } \right) = \sum _n \bar{P}_n , $

(8)

其中,$m,n > 0$,$\bar{P}_n \doteq \hat{v}_n^\ast \hat{F}_n \doteq \langle {\hat{v}_n ,\hat{F}_n }\rangle _{\rm C}$. 式中记号$\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\rm C} $表示复数域${\rm C}$上的复内积,几何上对应复平面向量点积. 采用内积符号是为了突出功率泛函关于$v$和$F$均是线性的,即双线性泛函. 由上述定义,时间平均比能可以也看成是特殊的"时间平均功率".

综合本章有关比能、功率计算结果可以看出,信号的傅里叶分解关于时间平均能量、功率泛函具有正交性,这使得我们在计算稳态振动功率,能量流的过程中,可以将输入信号做傅里叶展开,而逐一求解每一个频率分量下的功率,最后再利用叠加原理计算总功率及能量.

2 欧拉-伯努利梁的谱分解及其正交性

上一章有关傅里叶展开的正交性讨论表明,对于任意复杂周期信号,都可从能量角度分解成若干简单信号的叠加,称之为谱分解. 上述思想完全可以推广到一般运动场的研究中,例如欧拉-伯努利梁的任意稳态横向弯曲振速场$\dot{v}\left( {x,t} \right)$,是否存在一组关于能量正交的基底$\left\{ {\phi _n \left( {x,t} \right),n= 1,2,... } \right\}$,使得运动场的任意解$\dot{v}\left( {x,t} \right)$都具有如下线性展开式

$ eq9\dot{v}\left( {x,t} \right) = \sum _n \hat{\dot{v}}_n \phi _n \left( {x,t} \right) = \oplus _n \hat{\dot{v}}_n $

(9)

式中，$\hat{\dot{v}}_n $称为谱系数,而基底$\phi _n \left( {x,t} \right)$表示已知的运动模式,因此上式也可称为运动模式分解,是质点运动合成与分解在连续介质运动场中的推广. 本章将对$\left\{ {\phi _n }\right\}$的正交性及能量、功率分布规律做深入探讨.

\vskip 2mm 2.1 谱分解的引入

众所周知,无阻尼欧拉-伯努利梁的齐次方程通解是已知的,即任意周期运动场都有如下形式

$ \begin{align} & \dot{v}(x,t)\doteq \sum\limits_{n}{(}{{{\hat{\dot{v}}}}_{1,n}}{{\text{e}}^{-\text{j}{{k}_{\text{B}}}x}}+{{{\hat{\dot{v}}}}_{2,n}}{{\text{e}}^{-{{k}_{\text{B}}}x}}+{{{\hat{\dot{v}}}}_{3,n}}{{\text{e}}^{\text{j}{{k}_{\text{B}}}x}}+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ {{{\hat{\dot{v}}}}_{4,n}}{{\text{e}}^{{{k}_{\text{B}}}x}}){{\text{e}}^{\text{j}{{\omega }_{n}}t}}\doteq \sum\limits_{n}{\left[ {{\phi }_{1,n}},{{\phi }_{2,n}},{{\phi }_{3,n}},{{\phi }_{4,n}} \right]}{{{\hat{\dot{v}}}}_{n}} \\ \end{align} $

(10)

其中,$k_{\rm B}$表示弯曲波数,$k_{\rm B} = \sqrt {\omega / a}$,$a = c_{\rm L} i_z$,$i_z$为横截面积的惯性半径^[25]. $\dot{v}$表示横向振速,考虑到一般习惯以$u,v,w$分别表示$x,y,z$三个方向的位移,所以此处用$\dot{v}$强调以横向振速作为基本场变量. 谱系数$\hat{\dot{v}}_{j,n} $下标$j,n$分别用于区分空间分布模式和离散频率点. 上式说明,梁的弯曲运动场本质上可由4种基本空间运动模式组成: $\{{{\phi }_{i}}(x,t)={{\text{e}}^{{{s}_{i}}x}}{{\text{e}}^{\text{j}\omega \text{t}}},\ {{s}_{i}}={{k}_{\text{B}}}{{\text{e}}^{-\text{j}\pi i/2}},\ i=1,2,3,4\}$,其中$i = 1,3$为右、左行波模式; $i = 2,4$为右、左衰减振动模式.

任意稳态周期运动,都与${\rm C}^{4\times N}$维复线性空间,即谱空间中的一个点$\hat{\dot{ v}}$对应,如下所示

$ \begin{align} & \dot{v}\to \hat{\dot{v}}\in {{\text{C}}^{4\times N}}=\left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{1,1}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{2,1}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{3,1}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{4,1}} \\ \end{matrix} \right]\oplus \left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{1,2}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{2,2}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{3,2}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{4,2}} \\ \end{matrix} \right]\oplus ...\oplus \left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{1,n}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{2,n}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{3,n}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{4,n}} \\ \end{matrix} \right]= \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ {{\oplus }_{j,n}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{j,n}},\ \ N\text{充分大} \\ \end{align} $

(11)

上式表明$4N$维谱空间可以看成$N$个4维子空间的直和,每一个子空间对应一个稳态单频周期运动场. 注意到,$\{\phi _i \left( {x,t} \right)\vert _{j = 1,3}\}$,$\left\{ {\phi _i \left( {x,t} \right)\vert _{j = 2,4} } \right\}$分别为行波场和衰减振动场,对应的谱系数不妨分别记做

$ eq12\hat{\dot{ v}}_{\rm w} = \left[{\hat{\dot{v}}_{1,n} ,\hat{\dot{v}}_{3,n} } \right]^{\rm T},\ \\hat{\dot{ v}}_{\rm v} = \left[{\hat{\dot{v}}_{2,n} ,\hat{\dot{v}}_{4,n} } \right] $

(12)

类似周期信号的正交性,不同频率的运动模式$\hat{\dot{v}}_{j,m} $和$\hat{\dot{v}}_{k,n} $之间,在能量$\bar{e}$ (动能/势能/机械能)、截面应力功率$\bar{P}$泛函意义下,关于频率,即下标$n$,满足叠加原理

$ \left. \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & \bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}} \right)=\bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}} \right)+\bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}} \right) \\ & \bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}},{{{\hat{f}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{f}}}_{k,n}} \right)= \\ & \bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}},{{{\hat{f}}}_{k,m}} \right)+\bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}},{{{\hat{f}}}_{k,n}} \right) \\ & j,k=1,2,3,4,\ \ m,n\ge 1 \\ \end{align} \\ \end{array} \right\} $

(13)

式中$\hat{f}$表示截面广义弹性内力对应的谱系数. 上式表明不同频率的运动场,关于时间平均比能/功率是无耦合、不相干的.

进一步的,自然要问对于同一频率下的各子运动场$\hat{\dot{v}}_{j,n}$,$j =1,2,3,4$,关于空间分布模式指标是否也具有叠加性

$ \left. \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & \bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}} \right)=\bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}} \right)+\bar{e}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}} \right) \\ & \bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}},{{{\hat{f}}}_{j,m}}\oplus {{{\hat{f}}}_{k,n}} \right)= \\ & \bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{j,m}},{{{\hat{f}}}_{k,m}} \right)+\bar{P}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{k,n}},{{{\hat{f}}}_{k,n}} \right) \\ & j,k=1,2,3,4,\ \ m,n\ge 1 \\ \end{align} \\ \end{array} \right\} $

(14)

这是本章所要讨论的核心议题.

下面将从有限长和无限长两种情况,对单一频率下的衰减振动场和行波场的正交性进行深入讨论,过程中将略去谱系数$\hat{\dot{v}}_{j,n} $的频率指标.

2.2 无限长行波场的正交性

本节给出纯行波场的场能、场功率推导过程. 由于推导过程类似,所以后面有关有限长的情况将直接给出具体结果.

2.2.1 比能

如果考虑两端无限长,因衰减振动模式$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} $在无穷远点处发散,所以假设$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} = 0$是合理. 对横向振速$\dot{v}$,截面转角速度$\dot{\theta }$,截面弯矩$M$,截面剪力$Q$按右、左行波模式展开,得

$ \dot{v}\doteq \left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{1}}{{\text{e}}^{-\text{j}{{k}_{\text{B}}}x}}+{{{\hat{\dot{v}}}}_{2}}{{\text{e}}^{\text{j}{{k}_{\text{B}}}x}} \right){{\text{e}}^{\text{j}\omega t}}\triangleq {{\Phi }_{\text{w}}}{{\hat{\dot{v}}}_{\text{w}}} $

(15a)

$ \dot{\theta }={{\partial }_{x}}\dot{v}\doteq \text{ }{{\Phi }_{\text{w}}}\left[\begin{matrix} -\text{j}{{k}_{\text{B}}} & {} \\ {} & \text{j}{{k}_{\text{B}}} \\ \end{matrix} \right]{{\hat{\dot{v}}}_{\text{w}}}\triangleq \text{ }{{\Phi }_{\text{w}}}{{Z}_{\theta }}{{\hat{\dot{v}}}_{\text{w}}} $

(15b)

$ \begin{align} & M=EI\partial _{t}^{-1}\partial _{x}^{2}\dot{v}\doteq {{\Phi }_{\text{w}}}\left[ \begin{matrix} \text{j}{{R}_{\text{M}}} & {} \\ {} & \text{j}{{R}_{\text{M}}} \\ \end{matrix} \right]{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\triangleq \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\Phi }_{\text{w}}}{{Z}_{\text{M}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},\ \ {{R}_{\text{M}}}=\rho Aa \\ \end{align} $

(15c)

$ \begin{align} & Q=-\partial _{t}^{-1}\partial _{x}^{3}\dot{v}\doteq {{\Phi }_{\text{w}}}\left[ \begin{matrix} -{{R}_{\text{Q}}} & {} \\ {} & {{R}_{\text{Q}}} \\ \end{matrix} \right]{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\triangleq \\ & \ \ \ \ \ \ \ {{\Phi }_{\text{w}}}{{Z}_{\text{Q}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},\ \ {{R}_{\text{Q}}}=\rho A{{c}_{\text{B}}},\ \ {{c}_{\text{B}}}=\sqrt{\omega a} \\ \end{align} $

(15d)

式中$c_{\rm B} $表示弯曲波相速. $R_{\rm M,Q}$分别表示弯矩,剪力阻抗,并由其构成阻抗矩阵$ Z_{\rm M,Q}$,通过阻抗矩阵可以在复平面${\rm C}$上画出广义力、速度之间的相位关系如图3所示.

行波场的时间平均比动能$\bar{e}_{\rm k,w}$

$ \left. \begin{align} & {{{\bar{e}}}_{\text{k},\text{w}}}=\frac{1}{2}{{\left\langle v,v \right\rangle }_{\text{T}}}\doteq \sum\limits_{i,j=1,3}{\frac{1}{2}}\hat{\dot{v}}_{i}^{*}{{{\hat{\dot{v}}}}_{j}}{{\left\langle \phi _{i}^{*},{{\phi }_{j}} \right\rangle }_{\text{T}}}= \\ & {{\left\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{G}_{\text{k},\text{w}}}\left( x \right){{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}},\\ & {{G}_{\text{k},\text{w}}}=\Phi _{\text{w}}^{*}{{\Phi }_{\text{w}}}=\left[\begin{matrix} 1 & {{\text{e}}^{\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} \\ {{\text{e}}^{-\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} & \text{1} \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align} \right\} $

(16)

上式说明同一频率下的右、左行波模式间存在干涉,即关于时间平均能量泛函,右、左行波基不是正交基,此时度量矩阵$ G_{\rm k,w} $非对角. 如果在一个波长$\lambda $上对$\bar{e}_{\rm k,w} $ 再取一次空间平均,得到时间-空间平均比动能$\bar{\bar{e}}_{\rm k,w} $如下

$ \bar{\bar{e}}_{\rm k,w} = \langle \bar{e}_{\rm k,w} \rangle _\lambda = \left|{\hat{\dot{v}}_1 } \right|^2 + \left| {\hat{\dot{v}}_3 } \right|^2 = \bar{\bar{e}}_{\rm k,w} \left({\hat{\dot{v}}_1 } \right) + \bar{\bar{e}}_{\rm k,w} \left( {\hat{\dot{v}}_2 } \right) $

(17)

对于时间-空间平均而言,右、左行波模式间的干涉现象消失了,$\bar{\bar{e}}_{\rm k,w}$满足能量叠加原理,其物理意义是能量守恒. 波模系数$\hat{\dot{v}}_{1,3} $的平方模表征了场的平均动能.该实例再一次表明,运动模式正交与否,取决于泛函的选取.

类似比动能,同样可以定义单位质量的势能,即比势能$\bar{e}_{{\rm p,w}} $和$\bar{\bar{e}}_{{\rm p,w}} $如下

$ \left. \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{e}}}_{\text{p},\text{w}}}=\frac{1}{2}\frac{1}{R_{\text{M}}^{2}}{{\left\langle M,M \right\rangle }_{\text{T}}}= \\ \qquad {{\left\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},\frac{1}{R_{\text{M}}^{2}}Z_{\text{M}}^{*}{{G}_{\text{k},\text{w}}}{{Z}_{\text{M}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}= \\ \qquad {{\left\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{G}_{\text{p},\text{w}}}\left( x \right){{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}} \\ {{G}_{\text{p},\text{w}}}=\left[\begin{matrix} 1 & {{\text{e}}^{\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} \\ {{\text{e}}^{-\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} & 1 \\ \end{matrix} \right] \\ {{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{p},\text{w}}}={{\left\langle {{{\bar{e}}}_{\text{p},\text{w}}} \right\rangle }_{\lambda }}={{\left| {{{\hat{\dot{v}}}}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{{\hat{\dot{v}}}}_{3}} \right|}^{2}} \\ \end{array} \right\} $

(18)

上式说明,对于弯曲行波场,比能$\bar{e}_{\rm k,w} $和$\bar{e}_{{\rm p,w}} $空间分布规律完全相同,亦即动能极大点同时也是势能极大点,这与一维纵波(或者声波、扭转波)完全不同,反映了弯曲行波场的特性. 显然单位质量的总能,即比机械能$\bar{e}_{{\rm m,w}} $和$\bar{\bar{e}}_{{\rm m,w}} $有

$ \left. \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{e}}}_{\text{m},\text{w}}}={{\left\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},\left( {{G}_{\text{k},\text{w}}}+{{G}_{\text{p},\text{w}}} \right){{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}=2{{{\bar{e}}}_{\text{k},\text{w}}},\\ {{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{m},\text{w}}}=2{{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{k},\text{w}}} \\ \end{array} \right\} $

(19)

2.2.2 截面应力功率

与一维声场不同,弯曲行波场的广义位移有两个: $\dot{v}$和$\dot{\theta }$,因此需要分别计算剪力功率$\bar{P}_{\rm Q} $和弯矩功率$\bar{P}_{\rm M}$,推导过程与比能过程类似.

$ \begin{align} & {{{\bar{P}}}_{\text{Q},\text{w}}}={{\langle \dot{v},Q\rangle }_{\text{T}}}\doteq {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{G}_{\text{k},\text{w}}}{{Z}_{\text{Q}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}\doteq \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{A}_{\text{Q},\text{w}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}} \\ \end{align} $

(20)

其中$ A_{{\rm Q,w}} $称为与功率泛函$\bar{P}_{{\rm Q,w}} $对应的内积矩阵. $\bar{P}_{\rm Q} $的具体表达式为

$ eq{{A}_{\text{Q},\text{w}}}={{R}_{\text{Q}}}\left[\begin{matrix} 1 & {{\text{e}}^{\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} \\ -{{\text{e}}^{-\text{j2}{{k}_{\text{B}}}x}} & 1 \\ \end{matrix} \right]\equiv \rho A{{c}_{\text{B}}}\left[\begin{matrix} -1 & {} \\ {} & 1 \\ \end{matrix} \right] $

(21)

符号"$ \equiv $"表示消去反共轭对称部分,因其对功率贡献为零. 事实上,若$ A^\ast= - A$,则复二次型

$ \bar{P}\doteq {{z}^{*}}Az={{z}^{*}}Az+{{\left( {{z}^{*}}Az \right)}^{*}}=0 $

(22)

同理,

$ \begin{align} & {{{\bar{P}}}_{\text{M},\text{w}}}={{\langle \dot{\theta },M\rangle }_{\text{T}}}\doteq {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},Z_{\theta }^{*}{{G}_{\text{k},\text{w}}}{{Z}_{\text{M}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}\doteq \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{A}_{\text{M},\text{w}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}},{{A}_{\text{M},\text{w}}}={{A}_{\text{Q},\text{w}}} \\ \end{align} $

(23)

剪力、弯矩功率计算结果表明,时间平均场功率的空间分布是均匀的,并且右、左行波模式关于功率泛函$\bar{P}_{\rm w} $满足叠加原理

$ \begin{align} & {{{\bar{P}}}_{\text{tot},\text{w}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{1}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{3}})={{{\bar{P}}}_{\text{w}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{1}})+{{{\bar{P}}}_{\text{w}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{3}})\doteq {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{A}_{\text{tot},\text{w}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}= \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4\rho A{{c}_{\text{B}}}(-|{{{\hat{\dot{v}}}}_{1}}{{|}^{2}}+|{{{\hat{\dot{v}}}}_{2}}{{|}^{2}}) \\ \end{align} $

(24)

式中

$ {{A}_{\text{tot},\text{w}}}={{A}_{\text{Q},\text{w}}}+{{A}_{\text{M},\text{w}}}=2\rho A{{c}_{\text{B}}}\left[ \begin{matrix} -1 & {} \\ {} & 1 \\ \end{matrix} \right] $

(25)

本文规定,能量流出截面为负.

2.3 有限长混合场的正交性

与无限长情况不同,有限长运动场必须考虑右、左衰减振动模式$ \varPhi_{\rm v} = \left[{\phi _1 ,\phi _4 } \right]$,它在能量、功率特性上与行波场有着重要不同. 本节首先研究纯衰减振动场的能量传导情况,随后再给出一般混合场的场能、场功率以及运动模式间的正交性关系.

2.3.1 纯衰减振动的场功率

设梁的长度为$L$,此时场变量$\dot{v}$可展开为

$ \begin{align} & \dot{v}\doteq \left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{2}}{{\text{e}}^{-{{k}_{\text{B}}}x}}+{{{\hat{\dot{v}}}}_{4}}{{\text{e}}^{{{k}_{\text{B}}}x}} \right){{\text{e}}^{\text{j}\omega t}} \\ & \ \ \triangleq {{\Phi }_{\text{v}}}\left( x \right){{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}},x\in \left[0,L \right] \\ & \ \ \triangleq {{\Phi }_{\text{v}}}\left( \xi \right)\hat{\dot{v}}_{\text{v}}^{\text{M}},\xi \in \left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2} \right] \\ \end{align} $

(26)

振模系数$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} $表示坐标原点取在左端点,而$\hat{\dot{ v}}_{\rm v}^{\rm M} $则表示原点取在杆长中点处,两个波系数差一个坐标变换,即$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} = \varPhi_{\rm v} \left( { - L / 2} \right)\hat{\dot{ v}}_{\rm v}^{\rm M} $. 与式(15b)$\sim $(15d)类似,不难写出纯衰减振动场情况下的阻抗阵$ Z_{\theta ,{\rm M,Q}}$,此处从略. 衰减振动场广义力、振速相位图4所示.

从相位图上可以看成出,右衰减振动场的广义力垂直于自身的广义位移,说明单一右(左)衰减振动场的截面应力时间平均功率为零,即无法传导能量,但是如果两个场同时存在,那么右衰减振动场的广义力可以在左衰减振动场的广义位移上做功,即发生干涉.衰减振动场的剪力、弯矩功率内积矩阵$ A_{{\rm Q,v}} $和$ A_{{\rm M,v}} $ 分别为

$ \left. \begin{array}{l} l{A_{{\rm{Q}},{\rm{v}}}} = \Phi _{\rm{v}}^ * {\Phi _{\rm{v}}}{Z_{\rm{Q}}} = {R_{\rm{Q}}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - {\rm{j}}{{\rm{e}}^{ - 2{k_{\rm{B}}}x}}}&{\rm{j}}\\ { - {\rm{j}}}&{{\rm{j}}{{\rm{e}}^{2{k_{\rm{B}}}x}}} \end{array}} \right]\\ {A_{{\rm{M}},{\rm{v}}}} = Z_\theta ^ * \Phi _{\rm{v}}^ * {\Phi _{\rm{v}}}{Z_{\rm{M}}} = {R_{\rm{Q}}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{j}}{{\rm{e}}^{ - 2{k_{\rm{B}}}x}}}&{\rm{j}}\\ { - {\rm{j}}}&{ - {\rm{j}}{{\rm{e}}^{2{k_{\rm{B}}}x}}} \end{array}} \right]\\ {A_{{\rm{tot}},{\rm{v}}}} = {A_{{\rm{Q}},{\rm{v}}}} + {A_{{\rm{M}},{\rm{v}}}} = {R_{\rm{Q}}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{2{\rm{j}}}\\ { - {\rm{2j}}}&0 \end{array}} \right] \end{array} \right\} $

(27)

式中${\rm j}=\sqrt{-1}$.

总时间平均功率$\bar{P}_{{\rm tot},{\rm v}} $

$ \begin{align} & {{{\bar{P}}}_{\text{tot},\text{v}}}\doteq {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}},{{A}_{\text{tot},\text{v}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}=8\rho A{{c}_{\text{B}}}Re[\text{j}\hat{\dot{v}}_{2}^{*}{{{\hat{\dot{v}}}}_{4}}]= \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8\rho A{{c}_{\text{B}}}|{{{\hat{\dot{v}}}}_{2}}||{{{\hat{\dot{v}}}}_{4}}|\sin (\arg \hat{\dot{v}}_{2}^{*}{{{\hat{\dot{v}}}}_{4}}) \\ \end{align} $

(28)

上式说明衰减振动场的导能与行波场的重要区别在于其不满足叠加原理

$ \bar{P}\left( {\hat{\dot{v}}_2 \oplus \hat{\dot{v}}_4 } \right) \ne \bar{P}\left( {\hat{\dot{v}}_2 } \right) + \bar{P}\left( {\hat{\dot{v}}_4 } \right) $

(29)

这表明两种振动模式通过相互干涉效应来传导能量,不妨称之为"干涉导能",此时$ A_{{\rm tot},{\rm v}} $的非对角. 但与行波场类似的是时间平均功率$\bar{P}_{{\rm tot},{\rm v}} $空间分布是均匀的. 关于干涉导能的另外一个实例参见附录C.

2.3.2 混合场的比能与功率流

对于混合场,系统的比动、势能是否等于行波场与衰减振动场的叠加? 答案是否定的. 但是退而求其次,关于比机械能$\bar{e}_{\rm m} $叠加原理成立. 事实上按照前述相同的计算步骤,可得比机械能的度量矩阵$ G_{\rm m} $

$ {G_{\rm{m}}} = {G_{\rm{k}}} + {G_{\rm{p}}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&{2{{\rm{e}}^{{\rm{j2}}{k_{\rm{B}}}x}}}&0\\ {}&{2{{\rm{e}}^{ - 2{k_{\rm{B}}}x}}}&0&2\\ {}&{}&2&0\\ {}&{}&{}&{2{{\rm{e}}^{2{k_{\rm{B}}}x}}} \end{array}} \right] $

(30)

注意到改变谱系数$\hat{\dot{v}}_i $排列顺序,可以使度量矩阵具$ G_{\rm m} $具有分块对角性

$ {G_{\rm{m}}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{G_{\rm{w}}}}&{}\\ {}&{{G_{\rm{v}}}} \end{array}} \right] $

(31)

此时总比机械能$\bar{e}_{\rm m} $可写为

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{e}}}_{\text{m}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}})={{{\bar{e}}}_{\text{m}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}})+{{{\bar{e}}}_{\text{m}}}({{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}})= \\ {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{G}_{\text{w}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}+{{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}},{{G}_{\text{v}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}={{{\bar{e}}}_{\text{w}}}+{{{\bar{e}}}_{\text{v}}} \\ \end{array} $

(32)

这表明行波场与衰减振动场关于比机械能$\bar{e}_{\rm m} $满足能量叠加原理,其中各场比能度量矩阵$ G_{{\rm w,v}} $如下

$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{G_{\rm{w}}} = 2\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{{\rm{e}}^{{\rm{j2}}{k_{\rm{B}}}x}}}\\ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j2}}{k_{\rm{B}}}x}}}&1 \end{array}} \right]}\\ {{G_{\rm{v}}} = 2\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{e}}^{ - 2{k_{\rm{B}}}x}}\;}&1\\ 1&{{{\rm{e}}^{2{k_{\rm{B}}}x}}} \end{array}} \right]} \end{array}} \right\} $

(33)

如果对$\bar{e}_{\rm m} $在$\left[{ - L /2,L / 2} \right]$,上再取一次空间平均,则对应的度量矩阵$\bar{\bar{G}}_{{\rm w,v}} $如下

$ \left. \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{\bar{G}}}}_{\text{w}}}=2\left[ \begin{matrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \\ \end{matrix} \right],\quad {{{\bar{\bar{G}}}}_{\text{v}}}=2\left[ \begin{matrix} \beta & 1 \\ 1 & \beta \\ \end{matrix} \right] \\ \alpha =\frac{\sin {{k}_{\text{B}}}L}{{{k}_{\text{B}}}L},\quad \beta =\frac{\sinh {{k}_{\text{B}}}L}{{{k}_{\text{B}}}L} \\ \end{array} \right\} $

(34)

此时有限长梁的平均比能$\bar{\bar{e}}_{\rm m} $

$ {{\bar{\bar{e}}}_{\text{m}}}={{\bar{\bar{e}}}_{\text{w}}}+{{\bar{\bar{e}}}_{\text{v}}}={{\left\langle \hat{\dot{v}}_{\text{w}}^{\text{M}},{{{\bar{\bar{G}}}}_{\text{w}}}\hat{\dot{v}}_{\text{w}}^{\text{M}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}+{{\left\langle \hat{\dot{v}}_{\text{v}}^{\text{M}},{{{\bar{\bar{G}}}}_{\text{v}}}\hat{\dot{v}}_{\text{v}}^{\text{M}} \right\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}} $

(35)

其中$\hat{\dot{ v}}_{{\rm w,v}}^{\rm M} = \varPhi_{{\rm w,v}} \left( {L / 2} \right)\hat{\dot{ v}}_{{\rm w,v}} $,表示中点处的谱系数.

下面讨论一下高频和低频时$\bar{\bar{e}}_{{\rm w,v}} $的渐近值. 首先注意到$\omega \to 0$时,有

$ \alpha \to 1,\quad \beta \to 1 $

(36)

相应的时间-空间平均比能$\bar{\bar{e}}_{\rm w} $和$\bar{\bar{e}}_{\rm v} $

$ \left. \begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{w}}}\to 2{{\left| \hat{\dot{v}}_{1}^{\text{M}}+\hat{\dot{v}}_{3}^{\text{M}} \right|}^{2}} \\ {{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{v}}}\to 2{{\left| \hat{\dot{v}}_{2}^{\text{M}}+\hat{\dot{v}}_{4}^{\text{M}} \right|}^{2}} \\ \end{array} \\ \end{array} \right\} $

(37)

上述公式说明,低频段谱系数的(复数)和的平方模给出了各自运动动场能量的时间-空间平均值. 注意到$\omega \to \infty $,$k_{\rm B} L \to \infty $,有

$ \left. \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{\bar{G}}}}_{\text{w}}}\to 2\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \\ {{{\bar{\bar{G}}}}_{\text{v}}}\to 2\beta \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \\ \end{array} \right\} $

(38)

上式说明高频段,4种运动模式关于平均比机械能$\bar{\bar{e}}_{\rm m} $接近正交,即

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{\bar{e}}}}_{\text{m}}}(v)\to 2(|\hat{\dot{v}}_{\text{1}}^{\text{M}}{{|}^{2}}+|\hat{\dot{v}}_{3}^{\text{M}}{{|}^{2}})+2\beta (|\hat{\dot{v}}_{2}^{\text{M}}{{|}^{2}}+|\hat{\dot{v}}_{4}^{\text{M}}{{|}^{2}})= \\ \ \ \ \ \ 2(|{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{1}}}{{|}^{2}}+|{{{\hat{\dot{v}}}}_{3}}{{|}^{2}})+2\beta (|\hat{\dot{v}}_{2}^{\text{M}}{{|}^{2}}+|\hat{\dot{v}}_{4}^{\text{M}}{{|}^{2}}) \\ \end{array} $

(39)

上式表明,高频段不同模式间的能量干涉在减弱,即4种运动模式趋于正交. 最后给出总传导功率$\bar{P}$的计算式,推导过程雷同,从略.

$ \begin{align} & \bar{P}({{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\oplus {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}})=\bar{P}({{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}})+\bar{P}({{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}})={{{\bar{P}}}_{\text{w}}}+{{{\bar{P}}}_{\text{v}}}\dot{=} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}},{{A}_{\text{tot},\text{w}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{w}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}}+{{\langle {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}},{{A}_{\text{tot},\text{v}}}{{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{v}}}\rangle }_{{{\text{C}}^{2}}}} \\ \end{align} $

(40)

$ A_{{\rm tot},{\rm w / v}}$具体表达式见式(25)和(27). 式(40)表明关于传导功率$\bar{P}$,行波场$\hat{\dot{ v}}_{\rm w} $与衰减振动场$\hat{\dot{ v}}_{\rm v} $满足叠加原理,即总功率流等于衰减振动与行波场功率流代数和.

特别的,当$\omega \to \infty $,$\beta \to +\infty $,说明若限定$\bar{\bar{e}}_{\rm m} $为有限值,必有$\hat{\dot{ v}}_{\rm v}^{\rm M} \to 0$,根据式(28)有,

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{{\bar{P}}}_{\text{tot},\text{v}}}=8\rho A{{c}_{\text{B}}}\left| {{{\hat{\dot{v}}}}_{2}} \right|\left| {{{\hat{\dot{v}}}}_{4}} \right|\sin \left( \arg \hat{\dot{v}}_{2}^{*}{{{\hat{\dot{v}}}}_{4}} \right)= \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8\rho A{{c}_{\text{B}}}\left| \hat{\dot{v}}_{\text{2}}^{\text{M}} \right|\left| \hat{\dot{v}}_{4}^{\text{M}} \right|\sin \left( \arg \hat{\dot{v}}_{\text{2}}^{\text{M}*}\hat{\dot{v}}_{4}^{\text{M}} \right)\to 0 \\ \end{array} $

(41)

上式说明高频能量都是以波形发送的. 此时,衰减振动场被局限在杆端附近,相互干涉作用趋于零,无法继续传导能量,这一现象将在后文的数值算例中予以验证.图5给出了高、低频率下衰减振动场的干涉情况,该图说明高频段,由于近场振动迅速衰减,在$\left[{0,L} \right]$内的任意点处均无法形成有效干涉,如图5(b)所示,导致能量传导终止,此即振导模式的特殊性.

2.3.3 能量传送比

为了研究有限长混合运动场场能和功率流之间的关系,特别引入无量纲参数: 能量传送比$\eta$,定义如下

$ \eta \left( {\omega ; \hat{\dot{v}}} \right) \buildrel \Delta \over = \dfrac{\bar{P}_{{\rm tot}} }{\rho Ac_{\rm g} \bar{\bar{e}}_{\rm m} } $

(42)

上式反映了给定边界条件下传导能量的困难程度,$\eta $的正负取决于$\bar{P}_{{\rm tot}} $. 后文的数值算例将给出仿真结果. 归一化系数$\rho Ac_{\rm g} $的单位为kg/s,物理意义是单位时间内,弯曲能量信号扫过的质量. 如果系统仅存在右、左行波,则$\eta$分别等于$ - 1$和1.

2.3.4 功能关系

最后讨论一下无阻尼欧拉-伯努利梁的功能关系. 根据能量守恒原理,外力对系统${\varOmega}$所做的功$W$等 于系统能量增量$\Delta E$以及放热量$Q$,即

$ W = \Delta E + Q $

(43)

$\Delta E$由内能$U$,机械能$E_{\rm m} $以及能量流$\varPsi $三部分组成,即

$ \Delta E = \Delta U + \Delta E_{\rm m} + \varPsi \Delta T $

(44)

由于不存在热效应,所以$\Delta U = Q = 0$,同时又是稳态周期运动,一个周期$T$内的机械能变化量$\Delta E_{\rm m} = 0$,因此能量守恒式(43)简化为

$ W = \psi \cdot T \Rightarrow \bar P{\mid _{\partial \Omega }} = {\rm{ }}\Psi $

(45)

上式说明系统边界$\partial \Omega $上时间平均功率就等于流入系统的能量流. 如果$\partial \Omega $为封闭边界,根据场功率的空间分布均匀性,有

$ \bar P{\mid _{\partial {\rm{ }}\Omega }} = {\rm{ }}\Psi = 0 $

(46)

上式说明任意有限长的无阻尼欧拉-伯努利梁可以看成无损能量导体,能量从一侧流入,必然等值地从另一端流出.

2.4 振型函数正交性的能量表述

根据2.3节的讨论可知,只有波动与衰减振动之间才满足如式(14)所述的叠加性原理,其他情况下并不成立. 然而,如果系统处于自由振动状态,则还可以有进一步的正交性.

众所周知,如果设无阻尼自由振动梁横向振速$\dot{v}$具有如下振型展开式

$ \dot{v}\left( x,t \right)\dot{=}\sum\limits_{n}{{{{\hat{\dot{v}}}}_{n}}}{{\phi }_{n}}\left( x \right){{\text{e}}^{\text{j}{{\omega }_{n}}t}}\dot{=}{{\oplus }_{n}}{{\hat{\dot{v}}}_{n}} $

(47)

式中$\phi _n $为对应于固有角频率$\omega _n $的无量纲实振型函数. 若令$\tilde {e}_{{\rm k,p}} $表示$e_{{\rm k,p}} $的空间平均

$ \tilde {e}_{{\rm k,p}} ( \dot{v} ) = \langle {e_{{\rm k,p}} ( \dot{v} )} \rangle _{\rm L} $

(48)

则根据振型函数正交性,必然有

$ {{\tilde{e}}_{\text{k},\text{p}}}({{\oplus }_{n}}{{\hat{\dot{v}}}_{n}})=\sum\limits_{n}{{{{\tilde{e}}}_{\text{k},\text{p}}}}({{\hat{\dot{v}}}_{n}}) $

(49)

若振型函数$\phi _n $为归一化的,即

$ {\langle {\phi _n},{\phi _n}\rangle _{\rm{L}}} = 1,\quad n = 1,2,... $

(50)

根据比能的定义,易得

$ \left. \begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{*{35}{l}} {{{\tilde{e}}}_{\text{k}}}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{n}};t \right)=\frac{1}{2}\left( {{\left| {{{\hat{\dot{v}}}}_{n}} \right|}^{2}}+\hat{\dot{v}}_{n}^{2}{{\text{e}}^{\text{j2}{{\omega }_{n}}t}} \right) \\ {{{\tilde{e}}}_{\text{p}}}\left( {{{\hat{\dot{v}}}}_{n}};t \right)=\frac{1}{2}\left( {{\left| {{{\hat{\dot{v}}}}_{n}} \right|}^{2}}-\hat{\dot{v}}_{n}^{2}{{\text{e}}^{\text{j2}{{\omega }_{n}}t}} \right) \\ \end{array} \\ \end{array} \right\} $

(51)

显然式(49)表明,在空间平均比动、势能$\tilde {e}_{{\rm k,p}} $意义下,共振模式$\hat{\dot{v}}_n $具有正交性,换句话说,任意时刻的系统比能等于各参与模态比能的代数和.

对比能量叠加式(49)和(32),可知2.3节所述的正交性,实质上就是振型正交性原理在非共振频率情况下的推广.

本节所述概念关系如图6所示. 该图展示了正交性、非相干性和能量叠加性三者之间的等价关系. 本质上这三者分别从几何关系、物理现象、代数运算角度,对于同一事物的不同表述.

3 能量流数值算例

上一章给出了欧拉-伯努利梁的传导功率及比能分布规律,本节给出能量流的算例,验证公式的正确性,同时探讨不同频率下,能量传递规律.

现取以一空心圆截面梁,左端固支,右端用黏性阻尼器支撑,梁截面外径38 mm,壁厚3 mm,长度1 m,右端 阻尼系数$C=10$ N$\cdot$s/m,其模型见图7.

激励力$F$作用在梁中点处,其左右两侧分别对应单元(1)和(2). 将总能量流分为行波场和衰减振动场两部分分别予以 计算,用符号$\varPsi _{{\rm w,v}} $表示. 单元(1)的计算结果见图8.

图中能量流出截面取负$ - 1$,用符号函数sign表示不同频率下的能量流动方向. 对数坐标的参考值为1 W,图8(c)中的归一 化系数为输入功率.

图8(a)中的3个尖峰分别对应前三阶弯曲振动固有频率,通过行波场流出截面的能量取极大. 联合图8(a)和8(b)可知一个周期内,截面净能量流始终 为零,这说明(1)单元内行波场和衰减振能场相互交换能量,能量流在这两个场中"自循环",换句话说,左端刚性边界,即保守边界,对能量流有"截断"效应,使得能量流被"锁在"振动体内.

图8(c)表明,随着频率增加,能量自循环效应在减弱. 630 Hz处的奇异原因该频率下,激励点恰为反共振点,导致输入功率极小,归一化时出现奇异.

单元(2)的能量流分析结果见图9.

关于图9的结果分析如下:

(1)图9(a)中,除630 Hz附近频率外,行波场能量始终流向负载端,这与物理事实相符;而630Hz处出现传导方向跳跃是由于该频率下,激励点为反共振 点,因此630 Hz的计算结果是奇异点,可挖去不予考虑;

(2)图9(b)表明,衰减振动场的能量传导方向并不总指向负载端,而且每经过一个反共振点,传导方 向改变一次. 特别的,当衰减振动场能量传导方向与行波场传导方向不同时,说明此时行波场传导的一部分能量用于与衰减振动场"自循环",使得能量传导效率降低;

(3)图9(c)表明,如果输入单位功率,低频段(一阶模态之前,1st-36Hz),衰减振动场与行波场同时传导能量,各占总发射功率的50{\%}; 而当频率超过一阶 固有频率之后,衰减振动场传导能力迅速下降,此时能量全部由行波场负责传递. 这说明对于结构声振耦合问题,能量传导计算时只考虑行波场是合理的,因为此时的频率远高于结构一阶固有频率; 但对于低频问题,例如地震行波输入/冲击输入,衰减振动场的导能与行波场的导能具有同等重要地位,因此建模分析时不能忽略衰减振动场而仅用行波解来计算能量流;

(4)图9(d)表明,随着频率升高,传送效率在降低,换句话说,传导单位能量所需要的场能在增加.

4 结论与讨论

本文从运动的合成与分解出发, 揭示了正交分解与能量叠加原理间的等价关系,并将运动(模式)分解的概念推广到无阻尼欧拉-伯努利梁稳态周期运动场的研究中,证明了欧拉-伯努利梁的两种运动模式: 衰减振动、行波模式关于比机械能、传导功率是正交的.通过数值算例验证所得公式的正确性, 并分析了梁结构的能量传导特性. 主要结论有:

(1) 度量矩阵$ G$和功率内积矩阵$ A$的引入, 使得离散质点和连续体的能量、功率计算具有统一而简洁的数学形式, 即二次型形式, 故引入该矩阵具有实际意义;

(2) 梁的周期运动场存在两条相互独立的能量传导途径: 行波场和衰减振动场. 衰减振动场的能量传导特点是"干涉导能", 通过两个衰减振动场间的干涉作用传导能量, 总能量流并不等于两个场能量流的代数和; 数值仿真结果表明, 低频段衰减振动场和行波场同时参与能量传导; 频率超过一阶固有频率后, 衰减振动场能量传导能力开始减弱, 故高频能量只能通过波的形式在结构中传播, 因此能量建模法若要拓展到中低频, 必须要考虑衰减振动场的影响;

(3) 有限长梁的2类基本运动模式------行波场和衰减振动场, 关于时间平均比机械能$\bar{e}_{\rm m} $ 正交. 在高频段,梁的4种基本运动模式关于比机械能时间-空间平均值$\bar{\bar{e}}_{\rm m} $ 渐近于正交,此时梁的基本运动模式分解同时也是关于能量的正交分解;(正交)运动模式分解的意义在于对复杂运动场用更简单、更基本的模式去逼近或代替,其中的正交性使得任意分运动关于时间-空间平均场能是相互独立的,即从能量角度对特定运动场进行"拆分", 同时分运动模式与有限单元法逐点给出计算结果相比, 具有全局描述特性. 例如,对任意一段连续梁测量4点振速, 获得谱系数$\left\{ {\hat{\dot{v}}_i } \right\}$,则根据本文内容即可得到该段梁的总比能、传导功率及其方向, 换话说,某一频率下的运动场能量、场功率特性由4个谱系数完全刻画;

(5) 无阻尼梁是能量的无损导体. 如果系统存在耗散边界, 则行波场的能量传导方向始终从能量输入源指向耗散源, 而衰减振动场的能量流动方向与频率有关, 并不总流向耗散源. 衰减振动场与行波场间存在"能量自循环"效应, 即相互交换能量, 一定程度上降低了传导效率.

上述结论是在无阻尼梁模型前提下获得的, 但实际结构都是存在阻尼的, 因此对于有阻尼的情况下, 是否成立本文所讨论的正交性及其相关结论有待进一步研究.

附录A 直和记号$ \oplus $

众所周知, 任何一个向量$ v$都可以分解为坐标------标架的形式

$ v = \sum _n v_n g_n = \oplus _n v_n\ $

(52)

式中$v_n $和$ g_n $分别为坐标和基底向量. 为了避免在公式中重复出现基底向量$ g_n $, 所以采用直和记号$ \oplus $来表示向量之间的叠加运算(或者说合成运算).

采用该符号的目的是为了能够简洁的表明叠加原理. 例如若设$ g_n $为标准正交基, 则向量长度平方$\left\| v \right\|^2$满足叠加原理

$ \left\| v \right\|^2 = \left\| { \oplus _n v_n } \right\|^2 = \sum _n \left\| {v_n } \right\|^2 $

(53)

上式用形象的话来说就是: "先叠加再求长"与"先求长再叠加"等价. 从数学上, 如果把"向量长度平方"看成关于向量$ v$一个泛函, 不妨用$\rho $表示, 则式(53)可表示成更一般的形式

$ \rho \left( {{ \oplus _n}{v_n}} \right) = \sum\limits_n \rho \left( {{v_n}} \right) $

(54)

式(54)清楚地表明叠加运算$ \oplus $与泛函$\rho $可交换, 这保证了在求泛函值时, 允许按分量先逐个求取, 进而再求和的顺序进行运算.

长度泛函只有一个自变量, 进一步的, 熟知的功率泛函$P = P\left( { v}, F \right)$实际上是双变量的------速度和力, 与长度泛函类似, 如果采用标准正交基底, 则同样满足叠加原理

$ P\left( { v}, F \right) = P\left( { \oplus _n v_n , \oplus _m F_m } \right) = \sum _n P\left( {v_n ,F_n } \right),\quad m,n > 0 $

(55)

对比式(54)和(55)可知, 所谓几何上的正交关系, 其代数本质就是某种向量泛函与叠加运算$\oplus $可交换.

附录B 单边记号$\doteq$

对于周期信号$x\left( t \right)$, 为了便捷性, 往往习惯写成如下复指数形式,以代替三角函数记法

$ x\left( t \right) = A\mbox{e}^{{\rm j}\left( {\omega _1 t + \varphi } \right)} \to A\cos \left( {\omega _1 t + \varphi } \right) $

(56)

上述记法的缺点在于不严谨, 易产生混淆. 例如根据"="的代数含义, 若$y\left( t\right) = B\mbox{e}^{{\rm j}\left( {\omega _2 t + \psi } \right)}$, 则应该有

$ x \cdot y = A \cdot B\mbox{e}^{{\rm j}\left( {\left( {\omega _1 + \omega _2 } \right)t + \varphi + \psi } \right)} $

(57)

显然上式是错误的. 该例充分表明式(56)中的等号并非正真意义上的相等. 由于本文大量涉及复谐信号的乘积, 为了避免混淆, 特别引入单边记"$\doteq$"

$ x\left( t \right) \buildrel\textstyle.\over= \hat{x}\mbox{e}^{{\rm j}\omega t} = \hat{x}\mbox{e}^{{\rm j}\omega t} + \hat{x}^\ast \mbox{e}^{ - {\rm j}\omega t} = 2\left| \hat{x} \right|\cos \left( {\omega t + \arg \hat{x}} \right) $

(58)

该记号具有如下运算性质

$ \lambda x + \mu y \buildrel\textstyle.\over= \lambda \hat{x}\mbox{e}^{{\rm j}\omega _1 t} + \mu \hat{y}\mbox{e}^{{\rm j}\omega _2 t},\quad \lambda ,\mu \in {\rm R} $

(59a)

$ \partial _t^n x \buildrel\textstyle.\over= ( {{\rm j}\omega _1 } )^n\hat{x}\mbox{e}^{{\rm j}\omega _1 t} $

(59b)

$ \cdot y \buildrel\textstyle.\over= \hat{x}^\ast \cdot \hat{y}\mbox{e}^{{\rm j}( {\omega _2 - \omega _1 } )t} + \hat{x} \cdot \hat{y}\mbox{e}^{{\rm j}( {\omega _1 + \omega _2 } )t} $

(59c)

$ \dfrac{1}{2}x^2 \buildrel\textstyle.\over= \dfrac{1}{2}( {| \hat{x} |^2\mbox{ + }\hat{x}^2\mbox{e}^{{\rm j2}\omega _1 t}} ) $

(59d)

如果将信号$x( t )$当成速度信号, 则式(59e)实际上就是时间平均比动能$\bar{e}_{\rm k} $的谱系计算公式.

附录C 关于振导模式的另外一个实例

众所周知, 无限长弯曲运动场还可以按驻波模式展开

$ \dot{v} \buildrel\textstyle.\over= \hat{\dot{v}}_{\rm c} \mbox{e}^{{\rm j}\omega t}\cos {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} k_{\rm B} x + \hat{\dot{v}}_{\rm s} \mbox{e}^{{\rm j}\omega t}\sin k_{\rm B} x\ $

(60)

式中驻波谱系数$\hat{\dot{v}}_{{\rm c,s}} $分别表示余弦、正弦驻波模式, 式(60)本质上属于振动模式分解, 类似衰减振动模式. 显然根据欧拉公式, 驻波谱系数与行波谱系数$\hat{\dot{v}}_{1,3}$具有如下坐标变换关系

$ \left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{1}}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{2}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{\text{j}}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\text{j}}{2} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{c}}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{s}}} \\ \end{matrix} \right]=P\left[ \begin{matrix} {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{c}}} \\ {{{\hat{\dot{v}}}}_{\text{s}}} \\ \end{matrix} \right] $

(61)

在驻波基底下, 时均平均比动能、功率对应的度量矩阵$ G_{{\rm k,s}}$和内积矩阵$ A_{\rm tot,s} $

$ \begin{array}{l} \\ \left. \begin{array}{l} {G_{{\rm{k}},{\rm{s}}}} = {P^ * }{G_{{\rm{k}},{\rm{w}}}}P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\cos }^2}{k_{\rm{B}}}x}&{\frac{1}{2}\sin 2{k_{\rm{B}}}x}\\ {\frac{1}{2}\sin 2{k_{\rm{B}}}x}&{{{\sin }^2}{k_{\rm{B}}}x} \end{array}} \right]\\ {A_{{\rm{tot}},{\rm{s}}}} = {P^ * }{A_{{\rm{tot}},{\rm{w}}}}P = 2\rho A{c_{\rm{B}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \frac{{\rm{j}}}{2}}\\ {[2mm]\frac{{\rm{j}}}{2}}&0 \end{array}} \right] \end{array} \right\} \end{array} $

(62)

上式表明对于弯曲波动场, 关于比动能, 驻波模式间仍然不具有正交性; 同时$ A_{\rm tot,s}$非对角性也表明振导模式确实是一种广泛存在的能量传导模式, 尽管从功率计算角度, 使用行波基底要优于驻波基底.